做了这道题,你对分块矩阵性质的理解很可能将会更上一层楼

一、题目题目 - 荒原之梦

已知,线性方程组 $A x=\alpha$ 有解, $\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right) x=\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta\end{array}\right)$ 无解,则下列结论中正确的是哪个?

A. $r(B, \beta)=r(B)+1$

B. $r\left(\begin{array}{ll}A & \alpha \\ B & \beta\end{array}\right)<r\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right)+1$

C. $r\left[B^{\mathrm{\top}}(B, \beta)\right]>r\left(B^{\mathrm{\top}} B\right)$

D. $r\left[\left(A^{\mathrm{\top}}, B^{\mathrm{\top}}\right)\left(\begin{array}{ll}A & \alpha \\ B & \beta\end{array}\right)\right]=r\left[\left(A^{\mathrm{\top}}, B^{\mathrm{\top}}\right)\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right)\right]$

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

A 选项

首先:

$$
\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right) x=\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta\end{array}\right) \Leftrightarrow \begin{cases}
& A x = \alpha \\
& B x = \beta
\end{cases}
$$

但是,由 $A x=\alpha$ 有解, $\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right) x=\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta\end{array}\right)$ 无解,并不能推出 $B x = \beta$ 无解,因为我们在 $\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right) x=\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta\end{array}\right)$ 这个式子中,需要将 $\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right)$ 和 $\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta\end{array}\right)$ 作为一个整体去考虑。

详细的说明如下:

若 $\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right) x=\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta\end{array}\right)$ 有解,就是说,存在公共解,使得下面这个方程组中的两个方程都成立:

$$
\begin{cases}
& A x = \alpha \\
& B x = \beta
\end{cases}
$$

因此,若 $\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right) x=\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta\end{array}\right)$ 无解,就是说,$A x = \alpha$ 和 $B x = \beta$ 没有共有的公共解——

但是,这并不意味着 $B x = \beta$ 无解。

接下来,我们看看秩与非齐次线性方程组有无解之间的关系(其中,$A$ 表示系数矩阵,$(A, b)$ 表示增广矩阵):

首先,若 $r(A) < r(A, b)$ 则表示方程组无解。同时,由于 $b$ 是一维列向量,且 $r(A) = r(A)$ 一定成立,因此,也可以说,当 $r(A) + 1 = r(A, b)$ 时说明该方程组无解;

接着,当 $r(A) = r(A, b) = n$ 时,该方程组有唯一解,当 $r(A) = r(A, b) < n$ 时,该方程组有无穷多解。

(其中,$n$ 表示方程组中未知数的个数,或者系数矩阵的列数。)

明白了上面这些内容,我们就很容易知道,A 选项中所说的 $r(B, \beta)=r(B)+1$ 其实就是说 $B x = \beta$ 无解,但很显然,这是错的。

综上,A 选项错误。

B 选项

根据 A 选项的分析可知,$\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right) x=\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta\end{array}\right)$ 无解,就意味着:

$$
r\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right) < r\left(\begin{array}{ll}A & \alpha \\ B & \beta\end{array}\right)
$$

或者说:

$$
r\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right) + 1 = r\left(\begin{array}{ll}A & \alpha \\ B & \beta\end{array}\right)
$$

因此,B 选项中所给的下面这个式子一定不成立:

$$
r\left(\begin{array}{ll}A & \alpha \\ B & \beta\end{array}\right)<r\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right)+1
$$

综上,B 选项错误。

C 选项

已知,对于符合运算规律的矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 而言,有如下运算规律:

$$
r(A)=r\left(A^{\top} A\right)=r\left(A A^{\top}\right)=r\left(A^{\top}\right)
$$

$$
r(A B) \leqslant r(A) \quad r(A B) \leqslant r(B)
$$

$$
r[A, B] \geqslant r(A) \quad r[A, B] \geqslant r(B)
$$

因此:

$$
r\left[B^{\top}(B, \beta)\right]=r\left(B^{\top} B, B^{\top} \beta\right) \leqslant r\left(B^{\top} B\right)
$$

又:

$$
r\left(B^{\top} B\right)=r(B)
$$

于是:

$$
r\left(B^{\top} B, B^{\top} \beta\right) \leqslant r(B)=r\left(B^{\top} B\right) \Rightarrow
$$

$$
r\left[B^{\top}(B, \beta)\right] \leqslant r\left(B^{\top} B\right)
$$

综上,C 选项错误。

D 选项(第一种解法)

由于:

$$
\left(\begin{array}{c}
A \\
B
\end{array}\right)^{\top} = (A^{\top}, B^{\top}) \quad (A, B)^{\top} = \left(\begin{array}{c}
A^{\top} \\
B^{\top}
\end{array}\right)
$$

因此,由:

$$
r\left(\begin{array}{c}
A \\
B
\end{array}\right)<r\left(\begin{array}{ll}
A & \alpha \\
B & \beta
\end{array}\right)
$$

可得:

$$
r\left(\begin{array}{l}
A \\
B
\end{array}\right) = r\left(A^{\top}, B^{\top}\right)<r\left(\begin{array}{ll}
A & \alpha \\
B & \beta
\end{array}\right)
$$

进而(两个矩阵相乘所得的矩阵的秩取决于这两个矩阵中秩较小的那一个矩阵):

$$
r\left[\left(A^{\top}, B^{\top}\right)\left(\begin{array}{ll}
A & \alpha \\
B & \beta
\end{array}\right)\right]=r\left(A^{\top}, B^{\top}\right)
$$

又:

$$
r\left[\left(A^{\top}, B^{\top}\right)\left(\begin{array}{l}
A \\
B
\end{array}\right)\right]=r\left[\left(\begin{array}{l}
A \\
B
\end{array}\right)^{\top}\left(\begin{array}{l}
A \\
B
\end{array}\right)\right]=r\left(\begin{array}{l}
A \\
B
\end{array}\right)^{\top}=
$$

$$
r\left(A^{\top}, B^{\top}\right)
$$

于是得证:

$$
r\left[\left(A^{\top}, B^{\top}\right)\left(\begin{array}{ll}
A & \alpha \\
B & \beta
\end{array}\right)\right]=r\left[\left(A^{\top}, B^{\top}\right)\left(\begin{array}{l}
A \\
B
\end{array}\right)\right]
$$

综上,D 选项正确。

D 选项(第二种解法)

由于:

$$
r\left[\left(A^{\top}, B^{\top}\right)\right]=r\left[\left(A^{\top}, B^{\top}\right)\left(\begin{array}{l}
A \\
B
\end{array}\right)\right]
$$

又:

$$
r\left[\left(A^{\top}, B^{\top}\right)\left(\begin{array}{ll}
A & \alpha \\
B & \beta
\end{array}\right)\right] \textcolor{orange}{\leq} r\left[\left(A^{\top}, B^{\top}\right)\left(\begin{array}{l}
A \\
B
\end{array}\right)\right]
$$

且:

$$
r\left[\left(A^{\top}, B^{\top}\right)\left(\begin{array}{ll}
B & \alpha \\
B & \beta
\end{array}\right)\right]=
$$

$$
r\left[\left(A^{\top}, B^{\top}\right)\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right),\left(A^{\top}, B^{\top}\right)\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta\end{array}\right)\right] \textcolor{orange}{\ge} r\left[\left(A^{\top}, B^{\top}\right)\left(\begin{array}{l}A \ B\end{array}\right)\right]
$$

因此,符合条件的只有:

$$
r\left[\left(A^{\top}, B^{\top}\right)\left(\begin{array}{ll}A & \alpha \\ B & \beta\end{array}\right)\right]=r\left[\left(A^{\top}, B^{\top}\right)\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right)\right]
$$

综上,D 选项正确。


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