荒原之梦原创解题方法之函数本体偏离点必为尖点：直观的判断一个点是否是尖点（不可导点）

一、题目

下面哪个函数在 $x=0$ 处可导：

(A) $f(x)=\mathrm{e}^{|x|}$.

(B) $f(x)=\arctan |x|$.

(C) $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{\frac{4}{3}} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0 & x=0\end{array}\right.$.

(D) $f(x)=\arcsin \sqrt{|x|}$.

难度评级：

二、解析

解法一：函数本体偏离点必为尖点（画图法）

我们知道，当一个点是不平滑的“尖点”时，这个点一般就是“不可导点”，但是，怎么判断一个点是否是“尖点”呢？

判断一个点是否是尖点的方式之一就是看该点处是否发生了偏离原可导函数在该点处正常曲线的“趋势”。

下面以 (A), (B), (D) 三个选项中的函数为例。

如图 01 所示，在 (A) 选项中，红色实线表示函数 $y=e^{x}$ 的图象，该函数在 $x = 0$ 处是可导的，我们称该函数在 $x = 0$ 处的曲线趋势为“可导趋势”，并且，这个可导趋势对以函数 $y = e^{x}$ 为“本体”的函数来说是唯一的，即我们不能在 $x = 0$ 处找到本体属于 $y = e^{x}$ 但趋势与之不同的另一个函数。

同时，图 01 中的红色虚线是 $y = e^{|x|}$ 在 $x < 0$ 区间上的图象，函数 $y = e^{|x|}$ 在 $x > 0$ 区间上的图象和 $y=e^{x}$ 在 $x>0$ 区间上的图象（第一象限红色实现部分）是重合的，由于 $y = e^{|x|}$ 和 $y = e^{x}$ 有部分图像是重合的（有无数个点处的函数值相等），而 $y = e^{x}$ 又是在 $x = 0$ 处的可导函数，因此，我们选择 $y = e^{x}$ 作为 $y = e^{|x|}$ 的“本体”——可以看到，本体函数 $y = e^{x}$ 在第二象限只有一个可导趋势，那就是图 01 中第二象限的红色实线，凡是本体为 $y = e^{x}$, 但在某处函数图像开始偏离了 $y = e^{x}$ 的图象的点都是不可导点（因为一个本体只对应一个可导趋势）。

因此，$x = 0$ 是函数 $y=e^{|x|}$ 的不可导点。

下面对前文所述的“本体”概念做一个进一步的举例阐述。

如图 02 所示，红色实线表示函数 $y=e^{x}$ 的函数图像，蓝色虚线表示函数 $y=e^{2x}$ 的函数图像，由于这两个函数只有一个（有限个）重合点 $x = 0$, 因此，互相不能称为本体，同时经过验证可知，$y=e^{x}$ 和 $y=e^{2x}$ 也都是处处可导的函数。

但是，如果有一个分段函数是 $\bar{Y} = \begin{cases}
& e^{x}, & x > 0 \\
& 0, & x = 0 \\
& e^{2x}, & x < 0
\end{cases}$, 那么，$e^{x}$ 和 $e^{2x}$ 都可以看作对方的本体，但在 $x = 0$ 处，无论将谁看作本体都会发生偏离原可导趋势的情况，因此 $x = 0$ 就是该函数的尖点，也就是不可导点了。

函数 $\bar{Y}$ 的图象如图 03 所示：

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补充说明（点击可以展开）

前面所说的内容总结起来就是：一个处处可导的本体函数只有一个可导趋势，凡是已经有无数个点满足这个可导趋势的趋势（与本体函数重合）就必须继续满足该可导趋势（继续重合），否则，开始偏离本体函数可导趋势的点一定是一个不可导点。

当然，我最初得出上述结论只是依据直觉和有限个例证。但是，我们仍然可以通过稍微宽泛一些的思维实验，进一步加强上述结论的可靠度。

在进行接下来的思维实验之前，我们首先需要知道以下已经被证明成立的结论：

1. 可导点一定是连续且光滑的；
2. 圆和椭圆都是处处连续且光滑的；
3. 一个圆和其他圆或者椭圆只可能有一个点是重合的，不可能有无数个点（一段曲线）是重合的，如果是，那就是同一个圆；
4. 在一个极小的区间内，我们总能找到一个椭圆与一个弧是有无数个点重合的——或者说，一个弧上的某部分一定来自某个椭圆（或圆，也可以把椭圆视作特殊的圆）。

接下来，我们将本体看作是某个圆（或者为了满足函数的要求，只取该圆的一部分）。假设，我们可以找到一个“弧”，这个弧有无数个点是与本体圆重合的，但又有无数个点与本体圆不重合——换句话说，我们可以找到一个椭圆，这个椭圆有无数个点是与本体圆重合的，但又有无数个点与本体圆不重合——但是，根据前面的已知结论，这样的椭圆是不存在，因此，我们便不能保证这条偏离了本体圆的线在偏离点处是光滑的，那么，偏离点就是一个不可导点。

此外，关于圆与椭圆只能有一个交点这一问题，我们可以从椭圆无法用 $\pi$ 精确表示周长这一结论得出：如果圆与椭圆有无数个点重合，那么椭圆就可以有多个圆表示出来，也就是说椭圆的周长可以用 $\pi$ 精确表示了，这显然与前面的结论矛盾。

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基于前面的分析，我们知道，在如图 04 所示的 (B) 选项的函数图像中，$x = 0$ 是不可导点（实线表示 $\arctan x$, 虚线表示 $\arctan |x|$ 在 $x < 0$ 区间上的部分）：

同理，在如图 05 所示的 (D) 选项的函数图像中，$x = 0$ 也是不可导点（实线表示 $\arcsin \sqrt{x}$ 在 $x > 0$ 区间上的部分，虚线表示 $\arcsin \sqrt{|x|}$ 在 $x < 0$ 区间上的部分）——该函数严格地说是镜像对称导致的镜像连接点为尖点：

综上可知，本题的正确选项为 C

方法二：用等价无穷小和一点处导数的定义进行计算

已知：

$$
x \rightarrow 0 \Rightarrow
$$

$$
\arctan |x| \sim|x| \quad \arcsin \sqrt{|x|} \sqrt{|x|}
$$

于是：

(A) 选项：

$$
f(0)=e^{|0|}=1 \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(0)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{e^{|x|}-1}{x}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{|x|}{x} \Rightarrow 不存在
$$

(B) 选项：

$$
f(0)=\arctan |0|=0 \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(0)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\arctan |x|-0}{x}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{|x|}{x} \Rightarrow 不存在
$$

(D) 选项：

$$
f(0)=\arcsin \sqrt{|0|}=0 \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(0)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\arcsin \sqrt{x \mid}-0}{x} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{|x|}}{x} \Rightarrow 不存在
$$

(C) 选项：

$$
f(0)=0 \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(0)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^{\frac{4}{3}} \sin \frac{1}{x}-0}{x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} x^{\frac{1}{3}} \sin \frac{1}{x}=0
$$

综上可知，本题的正确选项为 C

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