【零】可以“抹平”不可导点:不可导点(函数)乘以 0 会变成可导点(函数)

一、题目题目 - 荒原之梦

函数 $f(x)=\left(x^{2}+x-2\right)|\sin 2 \pi x|$ 在 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ 区间内不可导点的个数是多少?

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二、解析 解析 - 荒原之梦

首先,$f(x)$ 可以拆分成以下两个函数:

$$
r(x)=x^{2}+x-2 \quad \varphi(x)=|\sin 2 \pi x|
$$

接着,由于 $\sin x$ 的周期为 $2 \pi$, 因此,对于 $\sin (2 \pi x)$ 而言,$2 \pi x$ 的周期就是 $2 \pi$, 于是,对 $\sin 2 \pi x$ 中的 $x$ 而言,周期就是 $\frac{2 \pi}{2 \pi} = 1$, 那么 $|\sin (2 \pi x)|$ 中 $x$ 的周期就是 $\frac{1}{2}$, 于是,我们可以绘制出如下(图 01)关于 $|\sin 2 \pi x|$ 的函数图像示意图:

【零】可以“抹平”不可导点:不可导点(函数)乘以 0 会变成可导点(函数)| 荒原之梦
图 01.

于是可知,$\sin 2 \pi x$ 在 $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ 区间内的不可导点有:

$$
x=0, \ \frac{1}{2}, \ 1
$$

那么,由于不可导点乘以 $0$ 就会变成可导点,因此,我们需要验证函数 $r(x)$ 在上述这些点处的函数值是否等于零:

$$
r(0)=-2 \neq 0
$$

$$
r\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-2 \neq 0
$$

$$
r(1)=1+1-2=0
$$

于是,对函数 $f(x)$ 而言,在区间 $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ 内的不可导点有:

$$
x=0, \ \frac{1}{2}
$$

综上,函数 $f(x)=\left(x^{2}+x-2\right)|\sin 2 \pi x|$ 在 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ 区间内不可导点的个数为 $2$.


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