【零】可以“抹平”不可导点：不可导点（函数）乘以 0 会变成可导点（函数）

一、题目

函数 $f(x)=\left(x^{2}+x-2\right)|\sin 2 \pi x|$ 在 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ 区间内不可导点的个数是多少？

难度评级：

二、解析

首先，$f(x)$ 可以拆分成以下两个函数：

$$
r(x)=x^{2}+x-2 \quad \varphi(x)=|\sin 2 \pi x|
$$

接着，由于 $\sin x$ 的周期为 $2 \pi$, 因此，对于 $\sin (2 \pi x)$ 而言，$2 \pi x$ 的周期就是 $2 \pi$, 于是，对 $\sin 2 \pi x$ 中的 $x$ 而言，周期就是 $\frac{2 \pi}{2 \pi} = 1$, 那么 $|\sin (2 \pi x)|$ 中 $x$ 的周期就是 $\frac{1}{2}$, 于是，我们可以绘制出如下（图 01）关于 $|\sin 2 \pi x|$ 的函数图像示意图：

于是可知，$\sin 2 \pi x$ 在 $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ 区间内的不可导点有：

$$
x=0, \ \frac{1}{2}, \ 1
$$

那么，由于不可导点乘以 $0$ 就会变成可导点，因此，我们需要验证函数 $r(x)$ 在上述这些点处的函数值是否等于零：

$$
r(0)=-2 \neq 0
$$

$$
r\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-2 \neq 0
$$

$$
r(1)=1+1-2=0
$$

于是，对函数 $f(x)$ 而言，在区间 $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ 内的不可导点有：

$$
x=0, \ \frac{1}{2}
$$

综上，函数 $f(x)=\left(x^{2}+x-2\right)|\sin 2 \pi x|$ 在 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ 区间内不可导点的个数为 $2$.

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