神奇的迪利克雷函数和一个违反直觉的高等数学结论

一、题目

下列命题正确的是哪个？

(A) 若 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 存在，则必存在 $\delta>0$, 当 $x \in \mathring{U}_{\delta}\left(x_{0}\right)$ 时，$f(x)$ 必存在.

(B) 若 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处连续，则必存在 $\delta>0$, 当 $x \in \mathring{U}_{\delta}\left(x_{0}\right)$ 时, $f(x)$ 亦连续.

(C) 若 $x=x_{0}$ 为 $f(x)$ 的间断点，则 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 必不存在.

(D) 若 $f\left(x_{0}\right)$ 不存在，则 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 必不存在.

难度评级：

二、解析

Tips:

$\mathring{U}_{\delta}\left(x_{0}\right)$ 表示 $x_{0}$ 的去心邻域，即当 $\delta$ 非常小时，$( x_{0} – \delta, x_{0}) \cup (x_{0}, x_{0} + \delta)$ 这个区间。

A 选项

该选项其实就是函数在一点处极限的定义。由于函数在一点处即使没有定义，也可以有极限，因此，函数在一点处的定义其实是定义在其去心邻域上的，同时，将函数的极限定义在一个去心邻域（区间）上，也可以说明极限是一个“动态的过程”，而非一个“静态的值”。

所以，A 选项是正确的。

B 选项

B 选项对应的其实就是本文标题所说的“反直觉的结论”。首先说明，B 选项是错误的，以下是论述过程：

首先，我们需要有一个迪利克雷函数：

$$
K(x) = \begin{cases}
1, & x 为有理数; \\
0, & x 为无理数
\end{cases}
$$

Tips:

一般情况下，我们认为：狄利克雷函数在有理数集合中处处连续，在无理数集合中也处处连续，但在实数集合中，狄利克雷函数处处不连续。

接着，令：

$$
f(x) = x \cdot K(x)
$$

Tips:

函数在一点处连续的定义是：函数在该点处的极限值（左极限和右极限）等于该点处的函数值。

于是，由于 $D(x)$ 是一个有界函数，因此，当 $x \rightarrow 0$ 时，我们有：

$$
\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} x K(x) = 0
$$

且：

$$
f(0) = 0 \cdot 1 = 0
$$

因此，函数 $f(x)$ 在 $x = 0$ 这一点处是连续的。

之后，我们设有点 $x = x_{1}$ 在 $0$ 的去心邻域 $\mathring{U}(0, \delta)$ 中，则必有 $x_{1} \neq 0$.

那么，当 $\textcolor{orange}{x_{1}}$ 为无理数时，此时，迪利克雷函数 $K(\textcolor{orange}{x_{1}}) = 0$, 即：

$$
f(\textcolor{orange}{x_{1}}) = \textcolor{orange}{x_{1}} \cdot K({\textcolor{orange}{x_{1}}}) = \textcolor{orange}{x_{1}} \cdot 0 = 0
$$

但是，当 $\textcolor{red}{x_{1}}$ 为有理数时，此时，迪利克雷函数 $K(\textcolor{red}{x_{1}}) = 1$, 即：

$$
f(\textcolor{red}{x_{1}}) = \textcolor{red}{x_{1}} \cdot K(\textcolor{red}{x_{1}}) = \textcolor{red}{x_{1}} \cdot 1 = \textcolor{red}{x_{1}} \neq 0
$$

综上可知，在函数 $f(x)$ 位于 $x = 0$ 附近的去心邻域中，任意的有理数点上，$f(x)$ 均不连续。

综上，我们可以知道，函数在一点处连续与其在该点的去心邻域内连续【无关】。

C 选项

若 $x = x_{0}$ 为可去间断点，虽然 $f(x_{0})$ 不存在，但是 $\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 存在，因为在该点处左导数等于右导数。

所以，C 选项不正确。

D 选项

同 C 选项，一点处的函数值可以不存在，但不影响该点处的极限值存在，因为极限值存在只要该点左右两侧的极限值相等即可，与该点是否有定义等无关。

所以，D 选项不正确。

---