错题示例：求解一个矩阵的特征值时不能先对这个矩阵进行化简后再套入公式：但套入公式之后可以化简

一、题目

二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ $=$ $a x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ 经正交变换化为标准形 $3 y_{1}^{2}-y_{3}^{2}$, 则 $a=?$

难度评级：

二、解析

错误的解法

错误原因：先对二次型矩阵 $A$ 进行了化简后，又代入了 $|\lambda E – A| = 0$ 这个公式求特征值。

$$
A=\left[\begin{array}{ccc}a & -1 & 1 \\ -1 & a & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right] \Rightarrow
$$

化简（注意：先化简是错误的）：

$$
\left[\begin{array}{ccc}a-1 & a-1 & 0 \\ 0 & a-1 & 1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
|\lambda E-N|=0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}\lambda-a+1 & 1-a & 0 \\ 0 & \lambda-a+1 & -1 \\ -1 & 1 & \lambda-2\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda-2)(\lambda-a+1)^{2}+(1-a)+(\lambda-a+1)=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda_{1}=3 \Rightarrow(4-a)^{2}+(1-a)+(4-a)=0 \tag{1}
$$

$$
\lambda_{2}=0 \Rightarrow-2(1-a)^{2}+(1-a)+(1-a)=0 \tag{2}
$$

$$
\\ r_{3}=-1 \Rightarrow-3(-a)^{2}+(1-a)+(-a)=0 \tag{3}
$$

由于该计算方法有问题，因此，计算到这一步我们会发现，我们无法找到一个 $a$ 的具体取值，使得上面 $(1)$, $(2)$, $(3)$ 三个式子都成立。

正确的解法一（求解速度较慢）

$$
A=\left[\begin{array}{ccc}a & -1 & 1 \\ -1 & a & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
|\lambda z-\lambda|=0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}\lambda-a & 1 & -1 \\ 1 & \lambda-a & 1 \\ -1 & 1 & \lambda-2\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}\lambda-a+1 & \lambda-a+1 & 0 \\ 0 & \lambda-a+1 & \lambda-1 \\ -1 & 1 & \lambda-2\end{array}\right|=
$$

$$
(\lambda-2)(\lambda-a+1)^{2}-2(\lambda-1)(\lambda-a+1)=0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda-a+1)[(\lambda-2)(\lambda-a+1)-2(\lambda-1)]=0
$$

$$
\lambda_{1}=3 \Rightarrow(4-a)[(4-a)-4]=0 \tag{1}
$$

$$
\lambda_{2}=0 \Rightarrow(1-a)[-2(1-a)+2]=0 \tag{2}
$$

$$
\lambda_{3}=-1 \Rightarrow(-a)[-3(-a)+4]=0 \tag{3}
$$

联立 $(1)$, $(2)$, $(3)$ 式可得：

$$
a = 0
$$

正确的解法二（求解速度较快）

Tips:

该解法中用到的 $\sum a_{ii} = \sum \lambda_{i}$ 的性质及一些其他常用性质可以在《秩为 1 的矩阵的一些性质》这篇文章中找到。

$$
A=\left[\begin{array}{ccc}a & -1 & 1 \\ -1 & a & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
A=\left[\begin{array}{ccc}a-1 & a-1 & 0 \\ 0 & a-1 & 1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
|A|=2(a-1)^{2}+2(a-1)=0 \Rightarrow
$$

$$
|A|=(a-1)[2(a-1)+2]=0 \Rightarrow
$$

$$
|A|=(a-1) \cdot 2 a=0 \Rightarrow
$$

$$
a=1 \text { 或者 } a=0
$$

又：

$$
a+a+2=\pi_{1}+\lambda_{2}+\pi_{3}=3+0-1=2 \Rightarrow
$$

$$
a \neq 1 \Rightarrow
$$

$$
\quad a=0
$$

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