求解线性方程组基础解系的顺口溜

一、前言

在求解线性方程组基础解系时，到底哪些是自由未知数，哪些是非自由未知数，哪些先赋值，哪些不赋值，是不是“傻傻分不清”？背会本文这个顺口溜，就很容易记住啦！

二、正文

完整版顺口溜

平移系数组矩阵，
化简矩阵找无关，
无关对应非自由，
相关却是很自由，
自由逐个拿出来，
依次赋值取为一。

简要版顺口溜

无关非自由，
相关却自由，
自由逐个来，
每次赋值 1

顺口溜解释

求解线性方程组基础解系的步骤如下：

1. 将原线性方程组中的系数按照原来的相对位置取出来，放到一个矩阵中，这个矩阵就是系数矩阵；
2. 对系数矩阵进行化简（只能使用初等行变换）；
3. 在化简之后的系数矩阵中找到一个极大线性无关组，这个极大线性无关组中的向量对应位置的未知数就是“非自由未知数”；
4. 不在上述极大线性无关组中的向量（也就是和极大线性无关组线性相关的向量）对应的未知数为“自由未知数”；
5. 每次另一个自由未知数等于 $1$, 其他自由未知数等于 $0$, 并代入到原方程组中，求解出非自由未知数的值即可；
6. 把上一步得到的数字按顺序写成向量就是基础解系；
7. 给上一步基础解系中不同的向量乘以不同的变量 $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{n}$, 得到的就是原线性方程组的通解。

相关例题

1. 求解基础解系的方法：每次令一个自由未知数值为 1, 其余自由未知数值为 0, 求解对应的非自由未知数的值（极大线性无关组对应非自由未知数）

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