你知道怎么求解这个隐藏在偏微分方程后面的一阶线性微分方程吗

一、题目

已知 $f(x)$ 具有一阶连续导数, $f(0)=0, \mathrm{~d} u(x, y)$ $=$ $f(x) y \mathrm{~d} x+[\sin x-f(x)] \mathrm{~d} y$, 则 $f(x)$ 等于（）

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二、解析

方法一

已知：

$$
\mathrm{~ d} u(x, y)=f(x) y \mathrm{~ d} x+[\sin x-f(x)] \mathrm{~ d} y
$$

则：

$$
\frac{\partial u}{\partial x}=f(x) y \quad \frac{\partial u}{\partial y}=\sin x-f(x)
$$

于是：

$$
\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=f(x) \quad \frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x}=\cos x-f^{\prime}(x)
$$

又：

$$
\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x} \Rightarrow
$$

因此，我们就得到了如下的一阶线性微分方程：

$$
f(x)=\cos x-f^{\prime}(x), \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(x)+f(x)=\cos x
$$

接着，由一阶线性微分方程的公式可知：

$$
f(x)=\left[\int \cos x e^{\int 1 \mathrm{~ d} x} \mathrm{~ d} x+C\right] e^{-\int 1 \mathrm{~ d} x} \Rightarrow
$$

$$
f(x)=\left[\int e^{x} \cos x \mathrm{~ d} x+C\right] e^{-x}.
$$

又：

$$
\int e^{2} \cos x \mathrm{~ d} x=\int \cos x d\left(e^{x}\right)=
$$

$$
e^{x} \cos x+\int \sin x d\left(e^{x}\right)=
$$

$$
e^{x} \cos x+e^{x} \sin x-\int e^{x} \cos x \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
2 \int e^{x} \cos x \mathrm{~ d} x=e^{x} \cos x+e^{x} \sin x \Rightarrow
$$

$$
\int e^{x} \cos x \mathrm{~ d} x=\frac{1}{2}\left(e^{x} \cos x+e^{x} \sin x\right)
$$

因此：

$$
f(x)=\frac{e^{-x}}{2} \cdot \left[e^{x} \cos x + e^{x} \sin x+C_{2}\right] \Rightarrow
$$

$$
f(0)=0 \Rightarrow f(0)=\frac{1}{2}\left[1+0+C_{2}\right] \Rightarrow C_{2}=-1 \Rightarrow
$$

即：

$$
f(x)=\frac{1}{2}[\cos x+\sin x-e^{-x}]
$$

方法二

本题的核心就是求解出隐藏的一阶线性微分方程，对此，还可以采取如下步骤：

$$
\mathrm{~ d} u(x, y)=f(x) y \mathrm{~ d} x+[\sin x-f(x)] \mathrm{~ d} y \Rightarrow
$$

$$
\frac{\partial u}{\partial x}=f(x) y \quad \frac{\partial u}{\partial y}=\sin x-f(x)
$$

在 $\frac{\partial u}{\partial y}$ 中对 $y$ 求积分：

$$
u(x, y) = \int \frac{\partial u}{\partial y} \mathrm{~ d} y=[\sin x-f(x)] \int 1 \mathrm{~ d} y \Rightarrow
$$

$$
u(x, y) = [\sin y-f(x)] y+C(x)
$$

接着，再对上面得到的 $u(x, y)$ $=$ $[\sin y-f(x)] y+C(x)$ 对 $x$ 求偏导：

$$
\Big[ \int \frac{\partial u}{\partial y} \mathrm{~ d} y \Big]_{x}^{\prime} = \frac{\partial u}{\partial x} = \left[\cos y-f^{\prime}(x)\right] y+C^{\prime}(x)
$$

代入 $\frac{\partial u}{\partial x}=f(x) y$:

$$
\left[\cos y-f^{\prime}(x)\right] y+C^{\prime}(x)=f(x) y \Rightarrow
$$

$$
\left[\cos y-f^{\prime}(x)-f(x)\right] y+C^{\prime}(x)=0
$$

又：

$$
y \neq 0, \quad C(x) \neq 0 \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(x)+f(x) = \cos y
$$

之后的求解步骤按照方法一进行即可。

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