二次型中标准型所用的特征值的书写顺序有特殊规定吗？没有，但一般按照从小到大，或者从大到小的顺序写——如果有特征向量，则特征值要与特征向量顺序保持一致

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}=(1,-1,0)^{\mathrm{T}}$ 是二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=a x_{1}^{2}-2 x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 b x_{2} x_{3}$ 的特征向量, 则此二次型经正交变换所得标准形是（）

难度评级：

二、解析

求解二次型的标准型主要就是求解出二次型矩阵的特征值。但是，本题中的二次型矩阵包含几个未知数，因此，我们需要首先建立等式，将未知数求解出来，建立等式所用的公式就是：

$$
A \alpha = \lambda \alpha
$$

即：

$$
\left[\begin{array}{ccc}a & -1 & 1 \\ -1 & 0 & b \\ 1 & b & -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right]=\lambda\left[\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
\left\{\begin{array}{l}a+1=\lambda \\ -1=-\lambda \\ 1-b=0\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\lambda=1 \\ b=1 \\ a=0\end{array}\right.\right.
$$

于是：

$$
A=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -2\end{array}\right] \Rightarrow|\lambda E-A|=0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 1 & -1 \\ 1 & \lambda & -1 \\ -1 & -1 & \lambda+2\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}\lambda-1 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & \lambda-1 & \lambda+1 \\ -1 & -1 & \lambda+2\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}\lambda-1 & 2-2 \lambda & 0 \\ 0 & \lambda-1 & \lambda+1 \\ -1 & 0 & \lambda+2\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda-1)^{2}(\lambda+2)-2(1-\lambda)(\lambda+1) = 0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda-1)^{2}(\lambda+2)+2(\lambda-1)(\lambda+1)=0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda-1)[(\lambda-1)(\lambda+2)+2(\lambda+1)]=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda_{1}=1
$$

$$
(\lambda-1)(\lambda+2)+2(\lambda+1)=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda^{2}+\lambda-2+2 \lambda+2=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda^{2}+3 \lambda=0 \Rightarrow \lambda_{2}=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda + 3=0 \Rightarrow \lambda_{3}=-3.
$$

于是，$A$ 的特征值为：

$$
\begin{cases}
& \lambda_{1} = 1 \\
& \lambda_{2} = 0 \\
& \lambda_{3} = -3
\end{cases}
$$

因此，标准型为：

$$
y_{1}^{2} – 3 y_{3}^{2}.
$$

Tips:

二次型中标准型所用的特征值的书写顺序没有特殊要求（也就是说顺序怎么样都可以），但一般按照从小到大，或者从大到小的顺序写——如果有特征向量，则特征值的顺序就要与特征向量的顺序保持一致。

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