使一个矩阵经相似对角化变成对角矩阵的矩阵 P 就是由该矩阵的特征向量组成的

一、题目

已知 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & -1\end{array}\right], \boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)$ 可逆，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 关于特征值 $\lambda=1$ 的特征向量是多少？

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二、解析

矩阵 $A$ 经相似对角化得到的对角矩阵主对角线上的值就是矩阵 $A$ 的特征值，因此：

$$
\begin{cases}
& \lambda_{1} = 1 \\
& \lambda_{2} = 1 \\
& \lambda_{3} = -1
\end{cases}
$$

又由于，$P^{-1} A P = \Lambda$, 因此，矩阵 $P$ 中的列向量就依次是 $A$ 的特征值对应的特征向量，即：

$\lambda_{1} = 1$ 对应的特征向量是 $\alpha_{1}$;

$\lambda_{2} = 1$ 对应的特征向量是 $\alpha_{2}$;

Tips:

$\alpha_{1}$ 和 $\alpha_{2}$ 一定是线性无关的。

因此，特征值 $\lambda=1$（二重特征值）对应的特征向量就是 $k_{1} \alpha_{1} + k_{2} \alpha_{2}$, 其中，$k_{1}$ 和 $k_{2}$ 不全为零。

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