秩与行阶梯形矩阵总是形影不离

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & a & 4 \\ 1 & 0 & 2 & a \\ -1 & a & 1 & 0\end{array}\right]$, $r(\boldsymbol{A})=3$, 则 $a$ 需要满足什么条件？

难度评级：

二、解析

$$
\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & a & 4 \\ 1 & 0 & 2 & a \\ -1 & a & 1 & 0\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & a & 4 \\ 0 & -1 & 2-a & a-4 \\ 0 & a+1 & 1+a & 4\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & a & 4 \\ 0 & -1 & 2-a & a-4 \\ 0 & 0 & (a+1)(3-a) & 4+(a+1)(a-4)\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
\begin{cases}
& (a+1)(3-a) = 0;\\
& 4+(a+1)(a-4)
\end{cases}
\Rightarrow
$$

$$
\begin{cases}
& a = -1;\\
& a=3;
\end{cases}
$$

且：

$$
\begin{cases}
& a = 0 ;\\
& a = 3.
\end{cases}
$$

于是，只要 $a \neq 3$, 就有：

$$
r(A) = 3.
$$

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