二阶矩阵伴随矩阵的快速求解方法:主对角线对调,副对角线变号

一、题目题目 - 荒原之梦

已知,四阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 满足 $2 \boldsymbol{A B} \boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A B}+6 \boldsymbol{E}$, 若 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 0\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{B}=?$

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先,化简题目所给的抽象矩阵:

$$
2 A B A^{-1}=A B+6 E \Rightarrow
$$

左边乘以 $A^{-1}$, 右边乘以 $A$:

$$
2 A^{-1} A B A^{-1} A=A^{-1} A B A+6 A^{-1} E A \Rightarrow
$$

$$
2 B=B A+6 E \Rightarrow
$$

$$
2 B-B A=6 E \Rightarrow
$$

$$
B(2 E-A)=6 E \Rightarrow
$$

$$
B=6 E(2 E-A)^{-1} \Rightarrow
$$

Tips:

“$6E$” 主要是为了形成一个矩阵,如果式子中其他部分已经可以保证乘以 $6$ 所得的就是一个矩阵,那么,$6E$ 就可以写成 $6$.

$$
B=6(2 E-A)^{-1}
$$

又:

$$
2 E-A=\left[\begin{array}{cccc}1 & -2 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right]
$$

又知,块对角矩阵的运算规律如下:

$$
\left[\begin{array}{cc}A & 0 \\ 0 & B\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}A^{-1} & 0 \\ 0 & B^{-1}\end{array}\right]
$$

$$
\left[\begin{array}{ll}0 & A \\ B & 0\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}0 & B^{-1} \\ A^{-1} & 0\end{array}\right]
$$

且知,二阶矩阵的伴随矩阵快速求解方式为“主对角线对调,副对角线变号”:

$$
\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]
$$

且:

$$
A^{*}=|A| A^{-1} \Rightarrow A^{-1}=\frac{A^{*}}{|A|}
$$

又::

$$
\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -1 & -1\end{array}\right]^{*}=\left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right], \quad\left[\begin{array}{cc}2 & -2 \\ 1 & 2\end{array}\right]^{*}=\left[\begin{array}{cc}2 & 2 \\ -1 & 2\end{array}\right]
$$

且:

$$
\left|\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -1 & -1\end{array}\right|=-1-2=-3, \quad\left|\begin{array}{cc}2 & -2 \\ 1 & 2\end{array}\right|=4+2=6
$$

于是:

$$
6(2 E-A)=6\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{3} & \frac{-2}{3} & 0 & 0 \\ \frac{-1}{3} & \frac{-1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & \frac{-1}{6} & \frac{1}{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}2 & -4 & 0 & 0 \\ -2 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 2\end{array}\right]
$$

Tips:

注意:

  1. 矩阵乘以一个常数,是矩阵的每一行或者每一列都乘以这个常数;
  2. 行列式乘以一个常数,是行列式的某一行或者某一列乘以这个常数。

荒原之梦考研数学思维导图
荒原之梦考研数学思维导图

高等数学箭头 - 荒原之梦

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。

线性代数箭头 - 荒原之梦

以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。

特别专题箭头 - 荒原之梦

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。

荒原之梦考研数学网 | 让考场上没有难做的数学题!

荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress