你能看出来这道考察伴随矩阵的题目的隐含条件吗？

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是四阶矩阵且 $r(\boldsymbol{A})=3$, 则 $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*}=?$

难度评级：

二、解析

已知：

$$
A^{*}=|A| \cdot A^{-1}
$$

于是：

$$
\left(A^{*}\right)^{*}=\left|A^{*}\right| \cdot\left(A^{*}\right)^{-1} \Rightarrow
$$

$$
\left(A^{*}\right)^{*}=|| A\left|\cdot A^{-1}\right| \cdot\left(\left|A\right| \cdot A^{-1}\right)^{-1} \Rightarrow
$$

$$
\left(A^{*}\right)^{*}=|A|^{n-1} \cdot A \cdot \frac{1}{|A|} \Rightarrow
$$

$$
\left(A^{*}\right)^{*}=|A|^{n-2} \cdot A.
$$

又：

$$
r(A)=3<4 \Rightarrow|A|=0 \Rightarrow
$$

$$
\left(A^{*}\right)^{*}=0 \Rightarrow
$$

$$
r\left(A^{*}\right)^{*}=0.
$$

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