向量组线性相关的 3 个判断方法和向量组线性无关的 2 个判断方法

一、题目

下面的向量组中，线性无关的是哪个？

(A) $(1,2),(3,4),(5,6)$.

(B) $(1,2,3),(4,5,6),(3,6,9)$.

(C) $(1,2,3),(4,6,5),(7,9,8)$.

(D) $(1,2,3),(0,0,0),(4,7,5)$.

难度评级：

二、解析

Tips:

基础知识：

1. 《向量组线性【相关】的定义》
2. 《向量组线性【无关】的定义》

向量线性相关的三大判断方法如下（满足一个即可判断）：

1. 零向量和任何向量都线性相关：因此，题目 $D$ 选项中的向量组线性相关；
2. 含有成比例向量的向量组线性相关：因此，题目 $B$ 选项中的向量组线性相关；
3. 向量个数大于向量维数的向量组一定线性相关（$n$ 维向量最多只能承载 $n$ 个线性无关的向量组，于是，当向量的个数大于 $n$ 个的时候，这些向量组成的向量组一定线性相关）：因此，题目 $A$ 选项中的向量组线性相关；

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向量组线性无关的两大判断方法（满足一个即可判断）：

1. 无论怎么用初等变换化简该项两组都不能得到全为 $0$ 的行或者列；
2. 该向量组对应的行列式不等于零。

综上可知，符合题意的只有 $C$ 选项。

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