又一道判断矩阵秩的题目，不过这次伴随矩阵来了，情况变得有点复杂……

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$, $\boldsymbol{A^{*}}$ 均为三阶非零矩阵, 且满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$, 则 $r(\boldsymbol{B})=?$

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$
\begin{cases}
& r(A) \geqslant 1; \\
& r(B) = 1 \quad or \quad 2 \quad or \quad 3
\end{cases}
$$

同时，由 $A^{}$ 是三阶非零矩阵可知，$A^{}$ 中含有至少一个非零元素，又由伴随矩阵的定义中《构成伴随矩阵的元素是什么？》可知，这就意味着，原三阶矩阵 $A$ 中至少存在一个二阶子式的值不为零，也就是说：

$$
r(A) = 2
$$

或者：

$$
r(A) = 3
$$

但是，当 $r(A) = 3$ 时，如果 $r(B) \geqslant 1$ 也成立，则 $AB = O$ 不成立。

于是，只能有：

$$
r(A) = 2
$$

进而可知，若要使 $AB= O$ 成立，此时必须有：

$$
r(B) = 1
$$

Tips:

关于得出上面 $r(B) = 1$ 这个结论所用的思考方法，可以参考《两个矩阵相乘等于零矩阵的时候，这两个矩阵的秩有什么关系？》这篇文章。

---