只要坚持导数存在则“左导等于右导”的原则,这道题你就会做啦

一、题目题目 - 荒原之梦

已知函数 $g(x)$ 在 $x=a$ 点处连续,且函数 $f(x)=|x-a| g(x)$ 在 $x=a$ 点处可导, 则 $g(a)$ 需要满足什么条件?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

方法 1

当 $x>a$ 时:

$$
f(x)=(x-a) g(x) \Rightarrow
$$

$$
f(x)=x g(x)-a g(x)
$$

当 $x<a$ 时:

$$
f(x)=(a-x) g(x) \Rightarrow
$$

$$
f(x)=a g(x)-x g(x)
$$

又由“可导必连续”的原则可知:

$$
f\left(a^{-}\right)=f\left(a^{+}\right)
$$

且有:

$$
f\left(a^{-}\right)=0^{-} \cdot g(a)
$$

$$
f\left(a^{+}\right)=0^{+} \cdot g(a)
$$

于是,必须有:

$$
g(a)=0.
$$

方法 2

Tips:

一点处的导数若存在,则必须有左导数值等于右导数值。

根据一点处导数的定义,可得:

$$
f^{\prime}(a)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(a)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{|a+h-a| \cdot g(a+h)-0}{h} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(a)=\frac{|h|}{h} \cdot g(a+h).
$$

又由于函数 $g(x)$ 在 $x=a$ 点处连续,可得:

$$
\lim \limits_{h \rightarrow 0} g(a+h)=g(a).
$$

Tips:

函数在一点处连续,就是说函数在该点“附近”没有“空隙”。

于是:

$$
f^{\prime}(a)=\frac{|h|}{h} \cdot g(a) .
$$

又:

$$
\lim \limits_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{|h|}{h}=1
$$

$$
\lim \limits_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{|h|}{h}=-1
$$

于是,只能有:

$$
f^{\prime}(a)=\frac{|h|}{h} \cdot 0=0 \Rightarrow g(a)=0.
$$


荒原之梦考研数学思维导图
荒原之梦考研数学思维导图

高等数学箭头 - 荒原之梦

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。

线性代数箭头 - 荒原之梦

以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。

特别专题箭头 - 荒原之梦

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。

荒原之梦考研数学网 | 让考场上没有难做的数学题!

荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress