极坐标系和直角坐标系累次积分互相转换:别忘了那个特别的 $r$

一、题目题目 - 荒原之梦

将极坐标系 $(r, \theta)$ 中的累次积分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}}^{1} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r$ 转化为直角坐标系 $(x, y)$ 中的累次积分。

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先,由题可知:

$$
\theta \in (0, \frac{\pi}{2}) \Rightarrow 积分区域在第一象限
$$

$$
r \in \Big( \frac{1}{\cos \theta + \sin \theta}, 1 \Big) \Rightarrow 从 \frac{1}{\cos \theta + \sin \theta} 到半径为 1 的圆
$$

又:

$$
r = \frac{1}{\cos \theta + \sin \theta} \Rightarrow
$$

$$
r \cos \theta + r \sin \theta = 1 \Rightarrow
$$

$$
x+y = 1 \Rightarrow
$$

$$
y = -x + 1.
$$

且:

$x^{2} + y^{2}$ $=$ $1$ 在第一象限内的函数为:

$$
y = \sqrt{1 – x^{2}}
$$

综上,我们可以绘制出如图所示的积分区域:

极坐标系和直角坐标系累次积分互相转换:别忘了那个特别的 $r$ | 荒原之梦
图 01.

由于直角坐标系二重积分转极坐标系二重积分的时候,需要在被积函数的位置乘上一个 $r$, 那么,反过来,极坐标系二重积分转直角坐标系二重积分的时候就需要除以一个 $r$, 因此,在本题中,直角坐标系下的被积函数应该是:

$$
f(r \cos \theta, r \sin \theta) \Rightarrow
$$

$$
\frac{f(r \cos \theta, r \sin \theta)}{r} \Rightarrow
$$

$$
\frac{f(x, y)}{r} \Rightarrow
$$

$$
\frac{f(x, y)}{\sqrt{r^{2} \cos ^{2} \theta + r^{2} \sin ^{2} \theta}} \Rightarrow
$$

$$
\frac{f(x, y)}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}.
$$

综上可知,将极坐标系 $(r, \theta)$ 中的累次积分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}}^{1} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r$ 转化为直角坐标系 $(x, y)$ 中的累次积分,就是:

$$
\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{f(x, y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} y.
$$


荒原之梦考研数学思维导图
荒原之梦考研数学思维导图

高等数学箭头 - 荒原之梦

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。

线性代数箭头 - 荒原之梦

以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。

特别专题箭头 - 荒原之梦

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。

荒原之梦考研数学网 | 让考场上没有难做的数学题!

荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress