一道很基础的累次积分“变形”题

一、题目

累次积分 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{1}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ 还可写成什么形式？

难度评级：

二、解析

对累次积分的变形，主要参考积分区域进行。

由题目所给式子可知：

$$
\begin{cases}
& x \in (0, 1);\\
& y \in (x, 1)
\end{cases}
$$

$$
\begin{cases}
& y \in (1, 2);\\
& x \in (0, 2-y)
\end{cases}
$$

于是，可以画出本题所给式子对应的积分区域，如图 01 所示：

综上可知，本题所给的式子还可以写成如下的形式：

$$
\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x} f(x, y) \mathrm{d} y
$$

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