求解由无穷限反常积分式子确定的“隐积分”

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛, $f(x)$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$ $-$ $\frac{\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{x}} \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$, 则 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x = ?$

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

积分收敛,就意味着该积分有一个确切的值,因此,令($A$ 为常数):

$$
\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{~ d} x=A.
$$

则:

$$
f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}-\frac{e^{-x}}{1+e^{x}} \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{~ d} x=\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{~ d} x-
$$

$$
\int_{0}^{+\infty}\left[\frac{e^{-x}}{1+e^{x}} \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{~ d} x\right] \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
A=\left.\arctan x\right|_{0} ^{+\infty}-A \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-x}}{1+e^{x}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
A=\frac{\pi}{2}-A \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-x}}{1+e^{x}} \mathrm{~ d} x.
$$

又:

接下来的计算过程可以参考这篇文章:《考研数学解题思路积累:和 $e^{x}$ 有关的那些式子

$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-x}}{1+e^{x}} \mathrm{~ d} x=\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{e^{x}\left(1+e^{x}\right)} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\int_{0}^{+\infty}\left(\frac{1}{e^{x}}-\frac{1}{1+e^{x}}\right) \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{e^{x}} \mathrm{~ d} x-\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+e^{x}} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
-\left.e^{-x}\right|_{0} ^{+\infty}+\left.\ln \left(1+e^{-x}\right)\right|_{0} ^{+\infty}=
$$

$$
-(0-1)+(0-\ln 2)=1-\ln 2.
$$

于是:

$$
A=\frac{\pi}{2}-A \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-x}}{1+e^{x}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
A=\frac{\pi}{2}-A(1-\ln 2) \Rightarrow
$$

$$
A(2-\ln 2)=\frac{\pi}{2} \Rightarrow
$$

$$
A=\frac{\pi}{2(2-\ln 2)}
$$


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