当变限积分中出现自变量和它的函数时，仍然按照一般的变限积分求导方法计算即可

一、题目

已知函数 $y=y(x)$ 由方程 $x-y=\int_{1}^{x+y} \sin ^{2} t \mathrm{~d} t$ 确定, 则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} = ?$

难度评级：

二、解析

$$
1-\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=\left(1+\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}\right) \sin ^{2}(x+y) \Rightarrow
$$

$$
1-\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=\sin ^{2}(x+y)+\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x} \sin ^{2}(x+y) \Rightarrow
$$

$$
1-\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}-\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x} \sin ^{2}(x+y)=\sin ^{2}(x+y) \Rightarrow
$$

$$
(-1)\left[\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x} \sin ^{2}(x+y)\right]=\sin ^{2}(x+y)-1 \Rightarrow
$$

$$
\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}\left[1+\sin ^{2}(x+y)\right]=1-\sin ^{2}(x+y)
$$

$$
\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\cos ^{2}(x+y)}{1+\sin ^{2}(x+y)}
$$

---