解三角函数定积分时经常会用到分部积分法：在 sin 与 cos 之间转换

一、题目

已知积分区域 $D$ 由 $y=x$ 与 $y^{2}=x$ 围成，则：

$$
\iint_{D} \frac{\sin \pi y}{y} \mathrm{~d} \sigma = ?
$$

难度评级：

二、解析

首先，根据题目信息，可以绘制出如下积分区域（阴影部分）：

先对 $y$ 积分后对 $x$ 积分太困难：

$$
\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{x}} \frac{\sin \pi y}{y} \mathrm{~d} y \Rightarrow
$$

因此，交换机分次序：

$$
\int_{0}^{1} \frac{\sin \pi y}{y} \mathrm{~d} y \int_{y^{2}}^{y} 1 \mathrm{~d} x \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{1} \frac{\sin \pi y}{y}\left(y-y^{2}\right) \mathrm{~d} y \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{1}(1-y) \sin \pi y \mathrm{~d} y \Rightarrow
$$

$$
\frac{-1}{\pi} \int_{0}^{1}(1-y) d(\cos \pi y) \Rightarrow
$$

$$
\frac{-1}{\pi}\left[\left.(1-y) \cos \pi y\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} \cos \pi y d(1-y)\right] \Rightarrow
$$

$$
\frac{-1}{\pi}\left[-1+\int_{0}^{1} \cos \pi y \mathrm{~d} y\right] \Rightarrow
$$

$$
\frac{-1}{\pi}\left[-1+\left.\frac{1}{\pi} \sin \pi y\right|_{0} ^{1}\right] \Rightarrow
$$

$$
\frac{-1}{\pi}\left[-1+\frac{1}{\pi}(\sin \pi-\sin 0)\right] \Rightarrow
$$

$$
\frac{-1}{\pi} \times(-1)=\frac{1}{\pi}
$$

---