交换二重积分的积分次序：先交为下限，后交为上限

一、题目

交换 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x^{2}} f(x, y) \mathrm{d} y$ $+$ $\int_{1}^{3} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{1}{2}(3-x)} f(x, y) \mathrm{d} y$ 的积分次序。

难度评级：

二、解析

由题知：

$$
x \in(0,1) \Rightarrow y=x^{2} \Rightarrow x=\sqrt{y}
$$

$$
x \in(1,3) \Rightarrow y=-\frac{1}{2} x+\frac{3}{2} \Rightarrow x=3-2 y
$$

根据上述结论，可以绘制出该积分的积分区域（图中阴影部分）：

于是：

$$
\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x^{2}} f(x, y) \mathrm{d} y + \int_{1}^{3} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{1}{2}(3-x)} f(x, y) \mathrm{d} y =
$$

$$
\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{y}}^{3-2 y} f(x, y) \mathrm{~d} x.
$$

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