用偏微分的定义计算全微分的特值问题（一）

一、题目

已知，连续函数 $z$ $=$ $f(x, y)$ 满足 $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 1}} \frac{f(x, y)-2 x+y-2}{\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}}$ $=$ $0$, 则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

要求解：

$$
\mathrm{d} z=\frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{d} x+\frac{\partial z}{\partial y} \mathrm{d} y
$$

就需要分别求解：

$$
\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,1)}=\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\
y=1}} \frac{f(x, y)-f(0,1)}{x-0}
$$

$$
\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(0,1)}=\lim \limits_{\substack{y \rightarrow 1 \\
x=0}} \frac{f(x, y)-f(0,1)}{y-1}
$$

又，当 $x = 0$, $y = 1$ 时：

$$
\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}} = 0.
$$

且下式的极限是存在的：

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 1}} \frac{f(x, y)-2 x+y-2}{\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}}=0
$$

于是：

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\
y \rightarrow 1}}[f(x, y)-2 x+y-2]=0 \Rightarrow
$$

注意：当分母趋于零时，如果要存在极限，则分子也必须趋于零，因为只有这样才可以构成 $\frac{0}{0}$ 型的极限。

$$
f(0,1)-0+1-2=0 \Rightarrow
$$

$$
f(0,1)-1=0 \Rightarrow f(0,1) = 1.
$$

从而：

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\
y \rightarrow 1}}[f(x, y)-2 x+y-2]=0 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\
y \rightarrow 1}}[f(x, y)-f(0,1)-2 x+(y-1)]=0 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\
y \rightarrow 1}} [f(x, y)-f(0,1)] = \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\
y \rightarrow 1}} [2 x-(y-1)].
$$

进而：

$$
\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,1)}=\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \ y=1}} \frac{2 x-(y-1)}{x-0}=2
$$

$$
\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(0,1)}=\lim \limits_{\substack{y \rightarrow 1 \ x=0}} \frac{2 x-(y-1)}{y-1}=-1
$$

综上可得：

$$
\mathrm{d} z=2 \mathrm{d} x-\mathrm{d} y
$$

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