用偏微分的定义计算全微分的特值问题(一)

一、题目题目 - 荒原之梦

已知,连续函数 z = f(x,y) 满足 limx0y1f(x,y)2x+y2x2+(y1)2 = 0, 则 dz|(0,1) = ?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

要求解:

dz=zxdx+zydy

就需要分别求解:

zx|(0,1)=limx0y=1f(x,y)f(0,1)x0

zy|(0,1)=limy1x=0f(x,y)f(0,1)y1

又,当 x=0, y=1 时:

x2+(y1)2=0.

且下式的极限是存在的:

limx0y1f(x,y)2x+y2x2+(y1)2=0

于是:

limx0y1[f(x,y)2x+y2]=0

注意:当分母趋于零时,如果要存在极限,则分子也必须趋于零,因为只有这样才可以构成 00 型的极限。

f(0,1)0+12=0

f(0,1)1=0f(0,1)=1.

从而:

limx0y1[f(x,y)2x+y2]=0

limx0y1[f(x,y)f(0,1)2x+(y1)]=0

limx0y1[f(x,y)f(0,1)]=limx0y1[2x(y1)].

进而:

zx|(0,1)=limx0 y=12x(y1)x0=2

zy|(0,1)=limy1 x=02x(y1)y1=1

综上可得:

dz=2dxdy


荒原之梦考研数学思维导图
荒原之梦考研数学思维导图

高等数学箭头 - 荒原之梦

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。

线性代数箭头 - 荒原之梦

以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。

特别专题箭头 - 荒原之梦

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。

荒原之梦考研数学网 | 让考场上没有难做的数学题!

荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress