应用洛必达法则的三点注意事项

一、前言

洛必达法则是高等数学解题过程中常用的一个法则，在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）将给出应用洛必达法则的三点注意事项，帮助大家在做题过程中明确哪些时候可以用洛必达法则，哪些时候不可以用洛必达法则。

解 题 思 路 简 图

graph TB
	a1(函数)
	a2([数列]) --转化为-->a1
	a1 -- 判断类型 --> b1(0/0 或 无穷/无穷)
	b1 --> c1(洛必达)
	c1 -- 得出 --> d1(新的式子)
	d1 -- 是未定式 --> b1
	d1 -- 不是未定式 --> e1(极限存在或为无穷大) --> f1(得出结果)
	d1 -- 不是未定式 --> e2(极限不存在且不为无穷大) --> f2(不能用洛必达)

二、正文

1. 数列不可以使用洛必达法则

由于数列中的元素本身是离散的，不满足导数的概念，而使用洛必达法则又必须进行求导运算，因此，数列本身是不可以使用洛必达法则的。例如，下面的计算过程就是错的：

Next

数列极限：

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{n} \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow
$$

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(\ln n)^{\prime}}{n^{\prime}}= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0.
$$

Next

对于上面的数列，如果要使用洛必达法则，首先应该转换为函数，之后再进行计算。下面的这个计算步骤就是正确的：

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{n} \Rightarrow 转为函数 \Rightarrow
$$

$$
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln x}{x} \Rightarrow
$$

$$
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(\ln x)^{\prime}}{x^{\prime}}= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0.
$$

2. 只有 $\frac{\infty}{\infty}$ 型或者 $\frac{0}{0}$ 型的式子可以使用洛必达法则

例如下面这个式子的计算过程就是错误的，因为 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\pi \cos \pi x}{6 x-2}$ 这个式子已经不是 $\frac{\infty}{\infty}$ 型或者 $\frac{0}{0}$ 型的未定式了，而是一个可以得出确切数值的式子：

Next

$$
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin \pi x}{3 x^2-2 x-1} \Rightarrow
$$

洛必达运算 $\Rightarrow$

$$
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\pi \cos \pi x}{6 x-2} \Rightarrow
$$

洛必达运算 $\Rightarrow$

$$
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{-\pi^2 \sin \pi x}{6}=0.
$$

Next

正确的解法如下：

$$
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin \pi x}{3 x^2-2 x-1} \Rightarrow
$$

洛必达运算 $\Rightarrow$

$$
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\pi \cos \pi x}{6 x-2} = \frac{- \pi}{4}.
$$

注意：在上面的式子中，极限是 $x \rightarrow 1$ 而不是 $x \rightarrow 0$.

3. 进行洛必达运算之后，如果极限不存在也不为 $\infty$ 就不可以使用洛必达

例如下面这个式子的计算过程就是错误的，因为经过洛必达运算之后得到的式子 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}}{\cos x}$ 的极限不存在也不为 $\infty$, 此时就说明前面所作的洛必达运算是不符合条件的：

Next

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{\sin x} \Rightarrow
$$

洛必达运算 $\Rightarrow$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}}{\cos x}
$$

Next

正确的计算步骤为：

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{\sin x} =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{x} =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x} = 0 \cdot (有界震荡函数) = 0.
$$

Next

此外，需要注意的是，当使用洛必达法则之后得出的结果是 $\infty$ 是可以说明能用洛必达法则的。例如，下面的运算过程就是正确的：

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+\sin x}{x-\sin x} =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\cos x}{1-\cos x} = \frac{1}{0} = \infty.
$$

Next

关于洛必达法则的其他补充资料，可以查看 这篇文章, 如果想测试一下对洛必达法则的掌握情况，可以 点击这里。

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