一、题目
已知：
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x-(\sin x) f(x)}{x^3} = 0
$$
则：
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{6-f(x)}{x^2} = ?
$$
难度评级：
二、解析 
一个 错误 的解法
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x-(\sin x) f(x)}{x^3} =
$$
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ (\sin 6 x – 6x ) – [ (\sin x) f(x) – 6x ]}{x^3} =
$$
$$
\textcolor{red}{
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sin 6 x – 6x }{x^3} – \lim _{x \rightarrow 0} \frac{ ( \textcolor{white}{\sin x} ) f(x) – 6x }{x^3} =
}$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \frac{-1}{6} (6x)^{3} }{x^3} – \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \textcolor{white}{x} f(x) – 6x }{x^3} =
$$
$$
(-36) – \lim _{x \rightarrow 0} \frac{ f(x) – 6 }{x^2} =
$$
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ 6 – f(x) }{x^2} = 36.
$$
上面的计算过程看似“天衣无缝”，实则存在一个严重的“漏洞”，那就是，在将原来的式子拆分成两个式子的时候（上面红色部分），由于函数 $f(x)$ 是一个未知函数，因此，我们不能保证拆分得到的 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ (\sin x) f(x) – 6x }{x^3}$ 这个式子的极限是存在的——
如果这个式子的极限存在，则可以拆分，否则，就不能拆分。
也就是说，在求解极限问题的时候，如果原式是有极限的，那么我们必须在保证将原式拆分之后的所有式子都有极限的情况下，才可以将原式进行拆分。
另外一个问题是，如果要进行等价无穷小的代换，则必须是在乘除法之间进行，而不能在加减法之间进行，但是，在上面的计算过程中，将 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ ( \textcolor{white}{\sin x} ) f(x) – 6x }{x^3}$ 替换为 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ ( \textcolor{white}{\sin x} ) f(x) – 6x }{x^3}$ 就是在加减法之间使用了等价无穷小代换，这样的求解步骤也是不对的。
正确的解法 1
既然由 $\frac{\sin 6 x-(\sin x) f(x)}{x^3}$ 推导 $\frac{6-f(x)}{x^2}$ 不容易计算，那么，我们可以反过来：
从 $\frac{6-f(x)}{x^2}$ 出发凑 $\frac{\sin 6 x-(\sin x) f(x)}{x^3}$.
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{6-f(x)}{x^2} =
$$
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{6 \sin x – (\sin x) f(x)}{x^2 \sin x} =
$$
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6x – 6 \sin x + 6 \sin x – (\sin x) f(x)}{x^2 \sin x} = 0 \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6x – 6 \sin x }{x^3} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 6 \sin x – (\sin x) f(x)}{x^3} = 0 \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6x – 6 \sin x }{x^3} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ (\sin x) [ 6 – f(x) ]}{x^3} = 0 \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6x – 6 \sin x }{x^3} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{ [ 6 – f(x) ]}{x^2} = 0 \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 6 – f(x) }{x^2} = \textcolor{orange}{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 6 \sin x – \sin 6x }{x^3} } \Rightarrow
$$
对上式等号右侧使用洛必达运算 $\Rightarrow$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 6 – f(x) }{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 6 \cos x – 6 \cos 6x }{3 x^2 } \Rightarrow
$$
对上式等号右侧再次使用洛必达运算 $\Rightarrow$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 6 – f(x) }{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ – 6 \sin x + 36 \sin 6x }{6 x } \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 6 – f(x) }{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ – 6 \sin x }{6 x } + \lim _{x \rightarrow 0} \frac{ 36 \sin 6x }{6 x } \Rightarrow
$$
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ 6 – f(x) }{x^2} = -1 + 36 \Rightarrow
$$
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ 6 – f(x) }{x^2} = 35
$$
正确的解法 2
除了可以对解法 1 中橙色部分的式子 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ 6 \sin x – \sin 6x }{x^3}$ 使用洛必达运算求解极限值之外，还可以使用泰勒公式求解。
已知：
$$
\sin x = x – \frac{1}{6} x^{3} + o(x^{3}) \Rightarrow
$$
$$
6 \sin x = 6x – x^{3} + o(x^{3}).
$$
$$
\sin 6x = 6x – \frac{1}{6} (6x)^{3} + o(x^{3}) \Rightarrow
$$
$$
– \sin 6x = – 6x + 36 x^{3} + o(x^{3}).
$$
于是：
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ 6 \sin x – \sin 6x }{x^3} =
$$
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ 6x – x^{3} – 6x + 36 x^{3} + o(x^{3}) }{x^3} =
$$
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ 35 x^{3} + o(x^{3}) }{x^3} = 35.
$$