分子或分母中有极限和数字的加减法时不能直接把极限值代入式子中参与运算——但只有极限没有数字的时候可以代入极限值参与运算

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处可导且 $f(0) = 1$, $f^{\prime}(0) = 3$, 则 $I = \lim _{n \rightarrow \infty}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)\right]^{\frac{\frac{1}{n}}{1 – \cos \frac{1}{n}}} = ?$

难度评级:

原标题:《当函数只说了在一点处可导时,不要使用求导法则进行求导运算:要使用导数的定义对特定的点进行求导》

二、解析 解析 - 荒原之梦

正确的解法 01

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)\right]^{\frac{\frac{1}{n}}{1 – \cos \frac{1}{n}}} \Rightarrow
$$

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令 $x = \frac{1}{n}$ $\Rightarrow$

$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left[f\left(x\right)\right]^{\frac{x}{1 – \cos x}}.
$$

由于 $f(0) = 1$, 于是:

$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left[f\left(x\right)\right]^{\frac{x}{1 – \cos x}} =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left[f\left(x\right) – 1 + 1\right]^{\frac{x}{1 – \cos x}} =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left[f\left(x\right) – 1 + 1\right]^{ \frac{1}{f\left(x\right) – 1} \cdot \frac{f\left(x\right) – 1}{1} \cdot \frac{x}{1 – \cos x}} =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} e ^{ \frac{f\left(x\right) – 1}{1} \cdot \frac{x}{1 – \cos x}} =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} e ^{ \frac{x f\left(x\right) – x}{1 – \cos x}} =
$$

$$
e ^{ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f\left(x\right) – x}{1 – \cos x}} \Rightarrow
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f\left(x\right) – x}{1 – \cos x} \Rightarrow
$$

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错误 的洛必达运算过程:
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x\right) + x f^{\prime} \left(x\right) – 1}{\sin x} =
$$
直接在分子中代入极限值 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x) = 1$ 和 $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x) = 3$:
$$
\textcolor{orangered}{
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1 + 3x – 1}{x} } =
$$
洛必达运算:
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3x}{x} = 3
$$

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上面的洛必达运算错误的原因就在于分子或分母中有极限和数字的加减法时不能直接把极限值代入式子中参与运算——但是,只有极限没有数字的时候可以代入极限值参与运算,例如,在 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime} \left(x\right)}{\cos x}$ 中,分母 $\cos 0 = 1$ 此时就可以直接将值代入参与运算。

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正确 的洛必达运算过程:
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x\right) + x f^{\prime} \left(x\right) – 1}{\sin x} =
$$
拆分:
$$
\textcolor{springgreen}{
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x\right) – 1}{\sin x} + \lim _{x \rightarrow 0} \frac{ x f^{\prime} \left(x\right) }{\sin x} } =
$$
洛必达运算:
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime} \left(x\right)}{\cos x} + \lim _{x \rightarrow 0} \frac{ f^{\prime} \left(x\right) }{1} = 3 + 3 = 6
$$

于是:

$$
e ^{ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f\left(x\right) – x}{1 – \cos x}} = e^{6}\Rightarrow
$$

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)\right]^{\frac{\frac{1}{n}}{1 – \cos \frac{1}{n}}} = e^{6}.
$$

正确的解法 02

$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left[f\left(x\right)\right]^{\frac{x}{1 – \cos x}} =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left[f\left(x\right) – 1 + 1\right]^{\frac{x}{1 – \cos x}} =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left[f\left(x\right) – 1 + 1\right]^{ \frac{1}{f\left(x\right) – 1} \cdot \frac{f\left(x\right) – 1}{1} \cdot \frac{x}{1 – \cos x}} =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} e ^{ \frac{f\left(x\right) – 1}{1} \cdot \frac{x}{1 – \cos x}} =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} e ^{ \frac{x f\left(x\right) – x}{1 – \cos x}} =
$$

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$$
e ^{ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f\left(x\right) – x}{1 – \cos x}} \Rightarrow
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f\left(x\right) – x}{1 – \cos x} =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f\left(x\right) – x}{\frac{1}{2} x^{2} } =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x\right) – 1}{\frac{1}{2} x } =
$$

$$
2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x\right) – f(0) }{ x – 0 } \Rightarrow
$$

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根据函数在一点处导数的定义 $\Rightarrow$

$$
2 f^{\prime} (0) = 6 \Rightarrow
$$

$$
e ^{ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f\left(x\right) – x}{1 – \cos x}} = e^{6} \Rightarrow
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left[f\left(x\right)\right]^{\frac{x}{1 – \cos x}} = e^{6}.
$$

正确的解法 03

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \left[f\left(x\right)\right]^{\frac{x}{1 – \cos x}} =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} e^{\frac{x}{1 – \cos x} \ln f(x)} =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} e^{\frac{x}{\frac{1}{2} x^{2}} \ln f(x)} =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} e^{\frac{1}{\frac{1}{2} x} \ln f(x)} =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} e^{2 \cdot \frac{\ln f(x)}{x} } =
$$

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$$
\lim _{x \rightarrow 0} e^{2 \cdot \frac{\ln f(x) – \ln f(0)}{x – 0} } =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} e^{2 \cdot [\ln f(0)]^{\prime} } =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} e^{2 \cdot \frac{f^{\prime}(0)}{f(0)} } =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} e^{2 \cdot \frac{3}{1} } = e^{6}.
$$


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感谢王杰彬同学(湖南大学)对本文的贡献。