求导会降阶,积分会升阶

一、前言 前言 - 荒原之梦

本文通过举例的方式讨论了如下结论:

求导会降阶,积分会升阶。

二、正文 正文 - 荒原之梦

我们知道:

$$
(x^{2})^{\prime} = 2x;
$$

$$
\int x^{2} \mathrm{d} x = \frac{1}{3} x^{3} + C.
$$

通过上面的计算,我们就证明了本文前言中所说的“求导会降阶,积分会升阶”这一结论。

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下面,我们通过一个例题继续巩固一下对这个结论的理解。

例题 1:若函数 $f(x)$ 连续,且当 $x \rightarrow a$ 时,$f(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小,则当 $x \rightarrow a$ 时,$\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 $x-a$ 的多少阶无穷小?

解析 1:由于 $\big[\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t \big]^{\prime}$ $=$ $f(x)$, 因此,$\big[\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t \big]^{\prime}$ 是 $x – a$ 的 $n$ 阶无穷小,根据“求导会降阶,积分会升阶”的原理可知:$\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 $x-a$ 的 $n+1$ 阶无穷小。


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