遇到关于 e 的函数式一定要注意“正负”

一、题目

已知 $a, b, c$ 均为非零常数，则：

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{a + b \textcolor{orange}{e^{\frac{1}{x}}}}{a – b \textcolor{orange}{e^{\frac{1}{x}}}} \cdot \frac{\sin cx}{|x|} = ?
$$

难度评级：

二、解析

由于题目中只给出了 $x \rightarrow 0$, 而且题目中包含关于 $e$ 的函数式，因此，我们要分别讨论当 $x \rightarrow 0^{+}$ 或者当 $x \rightarrow 0^{-}$ 时的极限值。

当 $x \rightarrow 0^{+}$ 时

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{a + be^{\frac{1}{x}}}{a – be^{\frac{1}{x}}} \cdot \frac{\sin cx}{|x|} \Rightarrow
$$

$$
\left\{\begin{matrix}
x > 0; \\
\frac{1}{x} \rightarrow + \infty; \\
e^{\frac{1}{x}} \rightarrow + \infty
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{be^{\frac{1}{x}}}{- be^{\frac{1}{x}}} \cdot \frac{\sin cx}{x} = – c.
$$

当 $x \rightarrow 0^{-}$ 时

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{a + be^{\frac{1}{x}}}{a – be^{\frac{1}{x}}} \cdot \frac{\sin cx}{|x|} \Rightarrow
$$

$$
\left\{\begin{matrix}
x < 0; \\
\frac{1}{x} \rightarrow – \infty; \\
e^{\frac{1}{x}} \rightarrow 0
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{a}{a} \cdot \frac{\sin cx}{-x} = – c.
$$

综上可知：

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{a + be^{\frac{1}{x}}}{a – be^{\frac{1}{x}}} \cdot \frac{\sin cx}{|x|} = – c.
$$

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