巧设特例，秒解题：一定要保证特例符合题意

一、题目

已知函数 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处连续，且有 $f(1) = 1$, 则 $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $\ln [ 2 + f(x^{\frac{1}{x}}) ]$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

解法 1：巧设满足题目要求的特例

根据题目，我们可以将函数 $f(x)$ 设为如下满足题目条件的特例：

$$
f(x) = 1
$$

进而：

$$
f(x^{\frac{1}{x}}) = 1.
$$

于是：

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \ln [ 2 + f(x^{\frac{1}{x}}) ] = \ln (2 + 1) = \ln 3.
$$

解法 2：用 $e$ 抬起做的标准解法

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x^{\frac{1}{x}}) =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} f( e^{\frac{1}{x} \ln x} ) =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} f( e^{\frac{\ln x}{x}} ) \Rightarrow
$$

Next

洛必达 $\Rightarrow$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} f( e^{\frac{\frac{1}{x}}{1}} ) =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} f( e^{ \frac{1}{x}} ) = f(e^{0}) = f(1) = 1.
$$

于是：

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \ln [ 2 + f(x^{\frac{1}{x}}) ] = \ln (2 + 1) = \ln 3.
$$

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