变限积分+微分方程:已知 $f(x)$ $=$ $\int_{0}^{x}$ $\left( x^{2} – t^{2} \right)$ $f^{\prime}(t)$ $\mathrm{d} t$ $+$ $x^{2}$ 求 $f(x)$

一、题目题目 - 荒原之梦

已知函数 $f(x)$ 具有连续的一阶导数, 且满足 $f(x)$ $=$ $\int_{0}^{x}$ $\left(x^{2} – t^{2} \right)$ $f^{\prime}(t)$ $\mathrm{d} t$ $+$ $x^{2}$, 求 $f(x)$ 的表达式。

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先,对于含有变限积分的式子,一般先进行求导运算:

$$
f(x) = \int_{0}^{x} \left(x^{2} – t^{2} \right) f^{\prime}(t) \mathrm{d} t + x^{2} \Rightarrow
$$

$$
f(x) = x^{2} \int_{0}^{x} f^{\prime}(t) \mathrm{d} t – \int_{0}^{x} t^{2} f^{\prime}(t) \mathrm{d} t + x^{2} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(x) = 2x \int_{0}^{x} f^{\prime}(t) \mathrm{d} t + x^{2} f^{\prime}(x) – x^{2} f^{\prime}(x) + 2x \Rightarrow
$$

Next - 荒原之梦 Next Next - 荒原之梦

$$
f^{\prime}(x) = 2x \int_{0}^{x} f^{\prime}(t) \mathrm{d} t + 2x \Rightarrow
$$

这里需要注意的有两点:

  1. 题目中只说了 $f(x)$ 有一阶连续的导数,因此我们只能对 $f(x)$ 做一次求导运算,不能再次进行第二次求导运算了;
  2. 根据牛顿-莱布尼兹公式或者积分与导数的意义可知:$\int$ $f^{\prime}(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $f(x)$ $+$ $C$

$$
f^{\prime} (x) = 2x [f(x) – f(0)] + 2x.
$$

Next - 荒原之梦 Next Next - 荒原之梦

又由题目中所给的原式可知:

$$
f(0) = \int_{0}^{0} \left(x^{2} – t^{2} \right) f^{\prime}(t) \mathrm{d} t + 0^{2} = 0 \Rightarrow
$$

$$
f(0) = 0.
$$

因此:

$$
f^{\prime} (x) = 2x [f(x) – f(0)] + 2x \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime} (x) = 2x [f(x) – 0] + 2x \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime} (x) = 2x f(x) + 2x \Rightarrow
$$

Next - 荒原之梦 Next Next - 荒原之梦

$$
f^{\prime} (x) – 2x f(x) = 2x.
$$

上面的式子就是一个一阶线性微分方程,根据《一阶线性微分方程的求解公式》可得:

$$
f(x) = \big[ \int 2x e^{\int -2x \mathrm{d} x} \mathrm{d} x + C \big] e^{- \int -2x \mathrm{d} x} \Rightarrow
$$

Next - 荒原之梦 Next Next - 荒原之梦

$$
f(x) = \big[ \int 2x e^{\int -2x \mathrm{d} x} \mathrm{d} x + C \big] e^{ \int 2x \mathrm{d} x} \Rightarrow
$$

Next - 荒原之梦 Next Next - 荒原之梦

$$
f(x) = \big[ \int 2x e^{-x^{2}} \mathrm{d} x + C \big] e^{x^{2}} \Rightarrow
$$

一般情况下,在使用公式求解一阶线性微分方程的时候,都会用到分部积分。

$$
f(x) = \big[ -\int e^{-x^{2}} \mathrm{d} (-x^{2}) + C \big] e^{x^{2}} \Rightarrow
$$

Next - 荒原之梦 Next Next - 荒原之梦

$$
f(x) = \big[ – e^{-x^{2}} + C \big] e^{x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
f(x) = – 1 + C e^{x^{2}}.
$$

Next - 荒原之梦 Next Next - 荒原之梦

截止到上面这里,计算还没有结束,因为上面的式子中还存在一个待定系数 $C$.

又:

$$
f(0) = 0 \Rightarrow
$$

$$
f(0) = – 1 + C e^{0^{2}} \Rightarrow
$$

$$
0 = -1 + C \Rightarrow
$$

$$
C = 1.
$$

Next - 荒原之梦 Next Next - 荒原之梦

综上可知:

$$
f(x) = – 1 + e^{x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
f(x) = e^{x^{2}} – 1.
$$


荒原之梦考研数学思维导图
荒原之梦考研数学思维导图

高等数学箭头 - 荒原之梦

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。

线性代数箭头 - 荒原之梦

以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。

特别专题箭头 - 荒原之梦

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。

荒原之梦考研数学网 | 让考场上没有难做的数学题!

荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress