差之毫厘，谬以千里：$\int$ $\frac{1+x}{1+x^{3}}$ $\mathrm{d} x$ 和 $\int$ $\frac{1-x}{1+x^{3}}$ $\mathrm{d} x$

一、题目

$$
\int \frac{1+x}{1+x^{3}} \mathrm{d} x = ?
$$

$$
\int \frac{1-x}{1+x^{3}} \mathrm{d} x = ?
$$

这两个式子只相差了一个加减符号，但是计算得出的结果却有很大不同，因此，在求解数学题的时候，一定不能想当然的以为就该有什么样的结果——得出的任何结论都要建立在有效的定理和严格的推理之上。

难度评级：

二、解析

1. 第一个式子的解析

由于：

$$
x^{3} + 1 = (x + 1)(x^{2} + 1 – x)
$$

对上面的拆分过程的解析，可以查看荒原之梦网的 这篇文章。

Next

于是：

$$
\int \frac{1+x}{1+x^{3}} \mathrm{d} x =
$$

$$
\int \frac{1+x}{(x + 1)(x^{2} + 1 – x)} \mathrm{d} x =
$$

$$
\int \frac{1}{x^{2} + 1 – x} \mathrm{d} x
$$

Next

又由荒原之梦网的 这篇文章 可知：

$$
x^{2} + 1 – x = (x – \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}
$$

于是：

$$
\int \frac{1}{x^{2} + 1 – x} \mathrm{d} x =
$$

$$
\int \frac{1}{(x – \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}} \mathrm{d} x =
$$

$$
\int \frac{1}{\frac{\sqrt
3}{2} + (x – \frac{1}{2})^{2}} \mathrm{d} (x – \frac{1}{2}) =
$$

$$
\frac{2}{\sqrt{3}} + \arctan \frac{2(x – \frac{1}{2})}{\sqrt{3}} + C =
$$

$$
\frac{2}{\sqrt{3}} + \arctan \frac{2x – 1}{\sqrt{3}} + C.
$$

2. 第二个式子的解析

$$
\int \frac{1-x}{1+x^{3}} \mathrm{d} x =
$$

$$
\int \frac{1-x}{(x + 1)(x^{2} + 1 – x)} \mathrm{d} x =
$$

对于上面的式子，如果我们还像求解第一个式子一样，利用分子消去分母中的 $(x + 1)$ 就做不到了，因此，我们只能寻求利用在分子中加项减项的方法消去分母中的 $(x^{2} + 1 – x)$.

Next

$$
\int \frac{(x^{2} + 1 – x) – x^{2}}{(x + 1)(x^{2} + 1 – x)} \mathrm{d} x =
$$

$$
\int \frac{x^{2} + 1 – x}{(x + 1)(x^{2} + 1 – x)} \mathrm{d} x -\int \frac{x^{2}}{(x + 1)(x^{2} + 1 – x)} \mathrm{d} x =
$$

$$
\int \frac{1}{x + 1} \mathrm{d} x -\int \frac{x^{2}}{1 + x^{3}} \mathrm{d} x =
$$

$$
\int \frac{1}{x + 1} \mathrm{d} x – \frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + x^{3}} \mathrm{d} (x^{3}) =
$$

$$
\ln |x + 1| – \frac{1}{3} \ln |1 + x^{3}| + C.
$$

---