披着根号外衣的幂函数积分

一、题目

$$
\int \sqrt{x} \mathrm{d} x = ?
$$

$$
\int \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x = ?
$$

$$
\int \frac{1}{\sqrt{1-x}} \mathrm{d} x = ?
$$

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二、解析

幂函数的求导是很常见的，但有时候，某些幂函数会披上【根号】这个“外衣”，此时会对我们判断求导的方式产生一些干扰。

排除此类的干扰的方式就是在看到根号的时候就想一想，如果将其改写成指数（$x^{n}$），能否变成一个常见形式上的幂函数，并用幂函数的积分公式进行计算。

下面以三个题目为例。

本文中的 $C$ 表示任意常数。

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题目一

$$
\int \sqrt{x} \mathrm{d} x =
$$

$$
\int x^{\frac{1}{2}} \mathrm{d} x = \frac{1}{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2} + 1} + C = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C.
$$

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题目二

$$
\int \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x =
$$

$$
\int x^{\frac{-1}{2}} \mathrm{d} x = \frac{1}{\frac{-1}{2} + 1} x^{\frac{-1}{2} + 1} + C = 2 x^{\frac{1}{2}} + C.
$$

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题目三

$$
\int \frac{1}{\sqrt{1-x}} \mathrm{d} x =
$$

$$
\int (1-x)^{-\frac{1}{2}} \mathrm{d} x =
$$

$$
(-1) \int (1-x)^{-\frac{1}{2}} \mathrm{d} (-x) =
$$

$$
(-1) \int (1+t)^{-\frac{1}{2}} \mathrm{d} t =
$$

$$
(-1) \times \frac{1}{\frac{-1}{2} + 1}(1+t)^{\frac{-1}{2} + 1} + C = -2 (1+t)^{\frac{1}{2}} + C =
$$

$$
-2 (1-x)^{\frac{1}{2}} + C = -2 \sqrt{1-x} + C.
$$

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