求解函数 $f(x)$ $=$ $\ln x$ $-$ $\frac{x}{e}$ $+$ $k$ 零点的个数

一、题目

求解函数 $f(x)$ 的零点的个数：

$$
f(x) = \ln x – \frac{x}{e} + k
$$

其中，$k$ $>$ $0$.

难度评级：

二、解析

解题思路：函数 $f(x)$ 的零点就是函数 $f(x)$ 的图象与直角坐标系 $x$ 轴的交点——要找到这些“交点”，就要知道函数 $f(x)$ 的增减性，而要确定函数 $f(x)$ 的增减性，就要从函数 $f(x)$ 一阶导的正负性入手。

Next

首先：

$$
f^{\prime} (x) = \frac{1}{x} – \frac{1}{e}.
$$

Next

于是：

1. 当 $x$ $=$ $e$ 时，$f^{\prime}(x)$ $=$ $0$，$f(x)$ 取得极大值 $f(e)$ $=$ $k$, 其中 $k$ $>$ $0$;
2. 当 $0$ $<$ $x$ $<$ $e$ 时，$f^{\prime}(x)$ $>$ $0$, $f(x)$ 单调递增；
3. 当 $e$ $<$ $x$ 时，$f^{\prime}(x)$ $<$ $0$, $f(x)$ 单调递减；

注意：在分子一样的情况下，分母越大，整个分式的值越小。

Next

此外：

$$
\lim_{x \rightarrow 0} f(x) \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} ( \ln x – \frac{x}{e} + k ) = – \infty – 0 + k = – \infty.
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) \Rightarrow
$$

当 $x$ $\rightarrow$ $\infty$ 时，$\ln x$ $\ll$ $\frac{1}{e} x$ $\Rightarrow$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} ( \ln x – \frac{x}{e} + k ) = – \infty.
$$

Next

进而，我们可以画出关于函数 $f(x)$ 的如下图象示意图：

综上可知，函数 $f(x)$ 与 $x$ 轴有两个交点，因此，函数 $f(x)$ 存在两个零点。

---