一、题目
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2^{n}}{n!} = ?
$$
难度评级：
二、解析 
方法一
首先：
$$
\frac{2^{n}}{n!} > 0.
$$
又：
$$
\frac{2^{n}}{n!} =
$$
$$
\frac{2 \times 2 \times 2 \times \cdots \times 2 \times 2}{1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times (n-1) \times n} =
$$
$$
\frac{2}{1} \times \frac{2 \times 2 \times \cdots \times 2}{2 \times 3 \times \cdots \times (n-1)} \times \frac{2}{n} \Rightarrow
$$
$$
\frac{2 \times 2 \times \cdots \times 2}{2 \times 3 \times \cdots \times (n-1)} < 1 \Rightarrow
$$
$$
\frac{2}{1} \times \frac{2 \times 2 \times \cdots \times 2}{2 \times 3 \times \cdots \times (n-1)} \times \frac{2}{n} < \frac{4}{n}.
$$
又：
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{4}{n} = 0.
$$
因此：
$$
0 < \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2^{n}}{n!} < 0
$$
综上，由夹逼准则可知：
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2^{n}}{n!} = 0.
$$
方法二
除了可以使用方法一所示的夹逼准则求解本题，还可以将 $\frac{2^{n}}{n!}$ 视作一个数列进行求解。
令 $x_{n}$ $=$ $\frac{2^{n}}{n!}$, 则：
$$
x_{n+1} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \Rightarrow
$$
$$
x_{n + 1} = \frac{2 \cdot 2^{n}}{(n+1)n!} \Rightarrow
$$
$$
x_{n+1} = x_{n} \cdot \frac{2}{n+1}. \quad ①
$$
于是：
$$
\frac{x_{n+1}}{x_{n}} = \frac{2}{n+1} < 1.
$$
因此可知，数列 $\{ x_{n} \}$ 单调递减。
又由于：
$$
x_{n} = \frac{2^{n}}{n!} > 0.
$$
因此，数列 $\{ x_{n} \}$ 有下界，进而由单调有界准则可知，数列 $\{ x_{n} \}$ 收敛，即数列 $\{ x_{n} \}$ 有极限：
令 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $x_{n}$ $=$ $a$, 则：
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} x_{n} = \lim_{x \rightarrow \infty} x_{n+1} = a \Rightarrow
$$
$$
x_{n+1} = x_{n} \cdot \frac{2}{n+1} \Rightarrow
$$
$$
a = a \cdot \frac{2}{n+1} \Rightarrow
$$
$$
a = a \cdot 0 \Rightarrow
$$
$$
a = 0.
$$
综上可知：
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} x_{n} = 0 \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2^{n}}{n!} = 0.
$$
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