计算函数 $y$ $=$ $\frac{e^{x} – e^{-x}}{2}$ 的反函数

一、题目题目 - 荒原之梦

$y$ $=$ $\frac{e^{x} – e^{-x}}{2}$ 的反函数是多少?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先,我们要明白,一个函数的反函数并不是直接对原函数中的 $x$ 和 $y$ 进行互换就可以的,而是需要先将原函数 $y$ $=$ $f(x)$ 转化为等价的 $x$ $=$ $g(y)$ 的形式,之后,为了形式上符合通用的做法(用 $x$ 表示自变量,用 $y$ 表示因变量) 才将 $x$ $=$ $g(y)$ 中的 $x$ 和 $y$ 互换,写成 $y$ $=$ $g(x)$ 的形式。

因此,$y$ $=$ $\frac{e^{x} – e^{-x}}{2}$ 的反函数不是 $x$ $=$ $\frac{e^{y} – e^{-y}}{2}$.

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以下是正确的计算步骤:

$$
y = \frac{e^{x} – e^{-x}}{2} \Rightarrow
$$

$$
2 y = e^{x} – e^{-x} \Rightarrow
$$

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两边同乘 $e^{x}$ $\Rightarrow$

$$
2 y e^{x} = e^{2 x} – 1 \Rightarrow
$$

$$
e^{2 x} – 2 y e^{x} – 1 = 0.
$$

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令 $t$ $=$ $e^{x}$, 则:

$$
t^{2} – 2y t – 1 = 0 \Rightarrow
$$

$$
t = \frac{2y \pm \sqrt{4y^{2} + 4}}{2} \Rightarrow
$$

$$
t = \frac{2y \pm 2 \sqrt{y^{2} + 1}}{2} \Rightarrow
$$

$$
t = y \pm \sqrt{y^{2} + 1} \Rightarrow
$$

$$
e^{x} = y \pm \sqrt{y^{2} + 1}.
$$

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又由于 $e^{x}$ $>$ $0$, 而 $y$ $-$ $\sqrt{y^{2} + 1}$ $<$ $0$, 因此:

$$
e^{x} = y + \sqrt{y^{2} + 1} \Rightarrow
$$

$$
x = \ln (y + \sqrt{y^{2} + 1}) \Rightarrow
$$

互换 $x$ 和 $y$ $\Rightarrow$

$$
y = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}).
$$

综上可知,$y$ $=$ $\frac{e^{x} – e^{-x}}{2}$ 的反函数是 $y$ $=$ $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$.


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