问题
已知矩阵 $\boldsymbol{A}$ 为可逆矩阵，则，根据矩阵秩的性质，以下关于 $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{AB})}$ 与 $\textcolor{cyan}{\mathrm{r}(\boldsymbol{B})}$ 和 $\textcolor{cyan}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A})}$ 关 系 的选项中，正确的是哪个？选项
[A]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{AB})$ $=$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$[B]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{AB})$ $=$ $|A|$ $\cdot$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$
[C]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{AB})$ $=$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$
[D]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{AB})$ $\neq$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$
乘以一个 初 等 矩 阵 相当于做了 初 等 变 换 ，而初等变换 不 改 变 矩阵的 秩 ，因此，一定有：
$\mathrm{r}(\boldsymbol{\textcolor{yellow}{AB}})$ $\textcolor{red}{=}$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{\textcolor{yellow}{B}})$