$\mathrm{r}(\boldsymbol{AB})$ 与 $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$ 和 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ 的关系(C012)

问题

已知矩阵 $\boldsymbol{A}$ 为可逆矩阵,则,根据矩阵秩的性质,以下关于 $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{AB})}$ 与 $\textcolor{cyan}{\mathrm{r}(\boldsymbol{B})}$ 和 $\textcolor{cyan}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A})}$ 的选项中,正确的是哪个?

选项

[A].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{AB})$ $=$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[B].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{AB})$ $=$ $|A|$ $\cdot$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[C].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{AB})$ $=$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$

[D].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{AB})$ $\neq$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$


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乘以一个 相当于做了 ,而初等变换 矩阵的 ,因此,一定有:

$\mathrm{r}(\boldsymbol{\textcolor{yellow}{AB}})$ $\textcolor{red}{=}$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{\textcolor{yellow}{B}})$


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