行列式的按列展开定理（C003）

问题

已知，行列式中

a_{i j}

表示第

i

行第

j

列的元素，

A_{i j}

表示该元素的代数余子式，

M_{i j}

表示该元素的余子式。

则，如果要以按列展开的方式计算一个行列式的数值 $D$ ，以下哪个选项是正确的？

[A].

D

=

a_{1 j}

A_{1 j}

\times

a_{2 j}

A_{2 j}

\times

\dots

\times

a_{n j}

A_{n j}

[B].

D

=

a_{1 j}

M_{1 j}

+

a_{2 j}

M_{2 j}

+

\dots

+

a_{n j}

M_{n j}

[C].

D

=

a_{1 j}

A_{1 j}

+

a_{2 j}

A_{2 j}

+

\dots

+

a_{n j}

A_{n j}

[D].

D

=

\frac{a_{1 j}}{A_{1 j}}

+

\frac{a_{2 j}}{A_{2 j}}

+

\dots

+

\frac{a_{n j}}{A_{n j}}

行列式等于它的某一行 (列) 元素与其对应的代数余子式乘积之和。若按第 $j$ 列展开，则有：

$D$ $=$ $a_{1 j}$ $A_{1 j}$ $+$ $a_{2 j}$ $A_{2 j}$ $+$ $\dots$ $+$ $a_{n j}$ $A_{n j}$ .

其中， $i$ $=$ $1$ , $2$ , $\dots$ , $n$ .