正项级数比较判别法的极限形式：$0$ $\leqslant$ $A$ $<$ $+\infty$（B024）

问题

已知，$\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 及 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 均为正项级数，且 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{u_{n}}{v_{n}}$ $=$ $A$ $($ $v_{n}$ $\neq$ $0$ $)$.

若 $0$ $\leqslant$ $A$ $<$ $+\infty$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 之间敛散性的关系如何？

选项

[A].   若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散

[B].   若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛

[C].   若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散

[D].   若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛

   答 案   

若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛