题目
已知 $a$ 是常数，且矩阵 $A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & a\\
1 & 3 & 0\\
2 & 7 & -a
\end{bmatrix}$ 可经初等列变换化为矩阵 $B = \begin{bmatrix}
1 & a & 2\\
0 & 1 & 1\\
-1 & 1 & 1
\end{bmatrix}$.
$(Ⅰ)$ 求 $a$;
$(Ⅱ)$ 求满足 $AP = B$ 的可逆矩阵 $P$.
解析
第 $(Ⅰ)$ 问
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & a\\
1 & 3 & 0\\
2 & 7 & -a
\end{bmatrix}
\Rightarrow
$$
$$
初等行变换 \Rightarrow
$$
$$
A = \begin{bmatrix}
3 & 9 & 0\\
1 & 3 & 0\\
2 & 7 & -a
\end{bmatrix}
\Rightarrow
$$
$$
初等行变换 \Rightarrow
$$
$$
{\color{Red}
A = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0\\
1 & 3 & 0\\
2 & 7 & -a
\end{bmatrix}}
\Rightarrow
$$
$$
r(A) = 2 \Rightarrow
$$
$$
{\color{Red}
r(B) = r(A) = 2}.
$$
$$
B = \begin{bmatrix}
1 & a & 2\\
0 & 1 & 1\\
-1 & 1 & 1
\end{bmatrix}
\Rightarrow
$$
$$
初等行变换 \Rightarrow
$$
$$
B = \begin{bmatrix}
1 & a & 2\\
0 & 1 & 1\\
-1 & 1 & 1
\end{bmatrix}
\Rightarrow
$$
$$
{\color{Red}
B = \begin{bmatrix}
1 & a & 2\\
0 & 1 & 1\\
0 & a+1 & 3
\end{bmatrix}}
$$
由上式可知，只有当 $a = 2$ 时，才有 $r(B) = 2$, 于是：
$$
{\color{Red}
a = 2}.
$$
第 $(Ⅱ)$ 问
由第 $(Ⅰ)$ 问的计算结果可知：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 2\\
1 & 3 & 0\\
2 & 7 & -2
\end{bmatrix};
$$
$$
B = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 2\\
0 & 1 & 1\\
-1 & 1 & 1
\end{bmatrix}.
$$
若令 $P = (X_{1}, X_{2}, X_{3})$, $B = \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$, 则计算 $AP = B$ 就可以转化为计算：
$$
{\color{Red}
\left\{\begin{matrix}
A X_{1} = \beta_{1};\\
A X_{2} = \beta_{2};\\
A X_{3} = \beta_{3}.
\end{matrix}\right.}
$$
为了使计算上式的时候更加方便，我们可以对矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 做初等行变换，进行化简之后再完成对上式中 $X_{1}$, $X_{2}$ 和 $X_{3}$ 的计算：
$$
(A \vdots B) \Rightarrow
$$
$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & \vdots & 1 & 2 & 2\\
1 & 3 & 0 & \vdots & 0 & 1 & 1\\
2 & 7 & -2 & \vdots & -1 & 1 & 1
\end{bmatrix}
\Rightarrow
$$
$$
初等行变换 \Rightarrow
$$
$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & \vdots & 1 & 2 & 2\\
1 & 3 & 0 & \vdots & 0 & 1 & 1\\
3 & 9 & 0 & \vdots & 0 & 3 & 3
\end{bmatrix}
\Rightarrow
$$
$$
初等行变换 \Rightarrow
$$
$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & \vdots & 1 & 2 & 2\\
1 & 3 & 0 & \vdots & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & \vdots & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\Rightarrow
$$
$$
初等行变换 \Rightarrow
$$
$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & \vdots & 1 & 2 & 2\\
0 & 1 & -2 & \vdots & -1 & -1 & -1\\
0 & 0 & 0 & \vdots & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\Rightarrow
$$
$$
初等行变换，化为行最简形式 \Rightarrow
$$
$$
{\color{Red}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 6 & \vdots & 3 & 4 & 4\\
0 & 1 & -2 & \vdots & -1 & -1 & -1\\
0 & 0 & 0 & \vdots & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}}.
$$
于是：
$$
\left\{\begin{matrix}
A X_{1} = \beta_{1};\\
A X_{2} = \beta_{2};\\
A X_{3} = \beta_{3}.
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
$$
$$
{\color{Red}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 6\\
0 & 1 & -2\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
X_{1} =
\begin{bmatrix}
3\\
-1\\
0
\end{bmatrix}};
$$
$$
{\color{Red}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 6\\
0 & 1 & -2\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
X_{1} =
\begin{bmatrix}
4\\
-1\\
0
\end{bmatrix}};
$$
$$
{\color{Red}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 6\\
0 & 1 & -2\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
X_{1} =
\begin{bmatrix}
4\\
-1\\
0
\end{bmatrix}}.
$$
于是，根据“非齐通 = 齐通 + 非齐特”的定理，可得：
$$
{\color{Red}
X_{1} = k_{1} \begin{bmatrix}
-6\\
2\\
1
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
3\\
-1\\
0
\end{bmatrix}};
$$
$$
{\color{Red}
X_{2} = k_{2} \begin{bmatrix}
-6\\
2\\
1
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
4\\
-1\\
0
\end{bmatrix}};
$$
$$
{\color{Red}
X_{3} = k_{3} \begin{bmatrix}
-6\\
2\\
1
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
4\\
-1\\
0
\end{bmatrix}}.
$$
于是，可令：
$$
P = (X_{1}, X_{2}, X_{3}) \Rightarrow
$$
$$
{\color{Red}
\begin{bmatrix}
-6k_{1} + 3 & -6k_{2} + 4 & -6k_{3} + 4\\
2 k_{1} – 1 & 2k_{2} – 1 & 2k_{3} – 1\\
k_{1} & k_{2} & k_{3}
\end{bmatrix}}.
$$
但是，仅有上面的计算步骤还没有完全符合题意。由于题目要求矩阵 $P$ 可逆，因此，还必须保证 $|P| \neq 0$, 于是：
$$
{\color{Red}
|P| \neq 0} \Rightarrow
$$
$$
\begin{vmatrix}
-6k_{1} + 3 & -6k_{2} + 4 & -6k_{3} + 4\\
2 k_{1} – 1 & 2k_{2} – 1 & 2k_{3} – 1\\
k_{1} & k_{2} & k_{3}
\end{vmatrix} \neq 0
\Rightarrow
$$
$$
初等行变换 \Rightarrow
$$
$$
\begin{vmatrix}
-6k_{1} + 3 & -6k_{2} + 4 & -6k_{3} + 4\\
-1 & – 1 & – 1\\
k_{1} & k_{2} & k_{3}
\end{vmatrix} \neq 0
\Rightarrow
$$
$$
初等行变换 \Rightarrow
$$
$$
\begin{vmatrix}
3 & 4 & 4\\
-1 & – 1 & – 1\\
k_{1} & k_{2} & k_{3}
\end{vmatrix} \neq 0
\Rightarrow
$$
$$
初等行变换 \Rightarrow
$$
$$
{\color{Red}
\begin{vmatrix}
-1 & 0 & 0\\
-1 & – 1 & – 1\\
k_{1} & k_{2} & k_{3}
\end{vmatrix} \neq 0}
\Rightarrow
$$
$$
k_{3} – k_{2} \neq 0 \Rightarrow
$$
$$
{\color{Red}
k_{3} \neq k_{2}}.
$$
于是可知，可逆矩阵 $P$ 为：
$$
{\color{Red}
P = \begin{bmatrix}
-6k_{1} + 3 & -6k_{2} + 4 & -6k_{3} + 4\\
2 k_{1} – 1 & 2k_{2} – 1 & 2k_{3} – 1\\
k_{1} & k_{2} & k_{3}
\end{bmatrix}}.
$$
其中 $k_{1}$, $k_{2}$, $k_{3}$ 为任意常数，且 $k_{2} \neq k_{3}$.