题目
编号：A2016222
设矩阵 $A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1-a\\
1 & 0 & a\\
a+1 & 1 & a+1
\end{bmatrix}$, $\beta = \begin{bmatrix}
0\\
1\\
2a-2
\end{bmatrix}$, 且方程组 $Ax = \beta$ 无解.
$(Ⅰ)$ 求 $a$ 的值；
$(Ⅱ)$ 求方程组 $A^{\top} A x = A^{\top} \beta$ 的通解.
解析
第 $(Ⅰ)$ 问
由题可知，$Ax = \beta$ 的增广矩阵 $\overline{A}$ 为：
$$
\overline{A} =
$$
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1-a & \vdots & 0\\
1 & 0 & a & \vdots & 1\\
a+1 & 1 & a+1 & \vdots & 2a-2
\end{bmatrix}
\Rightarrow
$$
$$
初等行变换 \Rightarrow
$$
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1-a & \vdots & 0\\
0 & -1 & 2a-1 & \vdots & 1\\
0 & 0 & 2a-a^{2} & \vdots & a-2
\end{bmatrix}.
$$
又由方程组 $Ax = \beta$ 无解可知：
$$
\left\{\begin{matrix}
2a – a^{2} \neq a-2;\\
2a – a^{2} = 0;\\
a-2 \neq 0.
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
$$
$$
a = 0. \quad (a = 2 被排除.)
$$
第 $(Ⅱ)$ 问
由第 $(Ⅰ)$ 问的结论可得：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 1
\end{bmatrix};
$$
$$
\beta = \begin{bmatrix}
0\\
1\\
-2
\end{bmatrix}.
$$
于是：
$$
\overline{A} = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 1
\end{bmatrix};
$$
$$
\overline{A} A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 1
\end{bmatrix}
\Rightarrow
$$
$$
\overline{A} A = \begin{bmatrix}
3 & 2 & 2\\
2 & 2 & 2\\
2 & 2 & 2
\end{bmatrix};
$$
$$
\overline{A} \beta = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0\\
1\\
-2
\end{bmatrix}
\Rightarrow
$$
$$
\overline{A} \beta =
\begin{bmatrix}
-1\\
-2\\
-2
\end{bmatrix}.
$$
于是：
$$
(\overline{A} A \vdots \overline{A} \beta) \Rightarrow
$$
$$
\begin{bmatrix}
3 & 2 & 2 & \vdots & -1\\
2 & 2 & 2 & \vdots & -2\\
2 & 2 & 2 & \vdots & -2
\end{bmatrix}
\Rightarrow
$$
$$
初等行变换 \Rightarrow
$$
$$
{\color{Red}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & \vdots & 1\\
0 & 1 & 1 & \vdots & -2\\
0 & 0 & 0 & \vdots & 0
\end{bmatrix}}. \quad {\color{White}①}
$$
由上面的 $①$ 式可知，$A^{\top} A x = A^{\top} \beta$ 的通解为：
$$
X = 齐次通解 + 非齐次特解 \Rightarrow
$$
$$
X = k \begin{bmatrix}
0\\
-1\\
1
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
1\\
-2\\
0
\end{bmatrix}.
$$
其中，$k$ 为任意常数.