2016年考研数二第22题解析：非齐次线性方程组、增广矩阵

题目

编号：A2016222

设矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1-a\\ 1& 0& a\\ a+1& 1& a+1\end{array}\right]$, $\beta =\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2a-2\end{array}\right]$, 且方程组 $Ax=\beta$ 无解.

$(\mathrm{Ⅰ})$ 求 $a$ 的值；

$(\mathrm{Ⅱ})$ 求方程组 $A^{\mathrm{\top }}Ax=A^{\mathrm{\top }}\beta$ 的通解.

解析

第 $(\mathrm{Ⅰ})$ 问

由题可知，$Ax=\beta$ 的增广矩阵 $\bar{A}$ 为：

$$\bar{A}=$$

$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1-a& ⋮& 0\\ 1& 0& a& ⋮& 1\\ a+1& 1& a+1& ⋮& 2a-2\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\mathrm{初}\mathrm{等}\mathrm{行}\mathrm{变}\mathrm{换}\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1-a& ⋮& 0\\ 0& -1& 2a-1& ⋮& 1\\ 0& 0& 2a-a^2& ⋮& a-2\end{array}\right].$$

又由方程组 $Ax=\beta$ 无解可知：

$$\{\begin{array}{c}2a–a^2\ne a-2;\\ 2a–a^2=0;\\ a-2\ne 0.\end{array}\Rightarrow$$

$$a=0.(a=2\mathrm{被}\mathrm{排}\mathrm{除}.)$$

第 $(\mathrm{Ⅱ})$ 问

由第 $(\mathrm{Ⅰ})$ 问的结论可得：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right];$$

$$\beta =\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ -2\end{array}\right].$$

于是：

$$\bar{A}=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right];$$

$$\bar{A}A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\bar{A}A=\left[\begin{array}{ccc}3& 2& 2\\ 2& 2& 2\\ 2& 2& 2\end{array}\right];$$

$$\bar{A}\beta =\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ -2\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\bar{A}\beta =\left[\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -2\end{array}\right].$$

于是：

$$(\bar{A}A⋮\bar{A}\beta )\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{ccccc}3& 2& 2& ⋮& -1\\ 2& 2& 2& ⋮& -2\\ 2& 2& 2& ⋮& -2\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\mathrm{初}\mathrm{等}\mathrm{行}\mathrm{变}\mathrm{换}\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& ⋮& 1\\ 0& 1& 1& ⋮& -2\\ 0& 0& 0& ⋮& 0\end{array}\right].\mathrm{①}$$

由上面的 $\mathrm{①}$ 式可知，$A^{\mathrm{\top }}Ax=A^{\mathrm{\top }}\beta$ 的通解为：

$$X=\mathrm{齐}\mathrm{次}\mathrm{通}\mathrm{解}+\mathrm{非}\mathrm{齐}\mathrm{次}\mathrm{特}\mathrm{解}\Rightarrow$$

$$X=k\left[\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ 0\end{array}\right].$$

其中，$k$ 为任意常数.