2016年考研数二第19题解析:微分方程的降阶、一阶线性微分方程求解

题目

编号:A2016219

已知 y1(x)=ex, y2(x)=u(x)ex 是二阶微分方程:

(2x1)y(2x+1)y+2y=0

的两个解. 若 u(1)=e, u(0)=1, 求 u(x), 并写出该微分方程的通解.

解析

注:

[1]. 为了书写方便以及演算步骤的直观清晰,我们约定:

① 用 y2 代指题目中的 y2(x);

② 用 u 代指题目中的 u(x).

由题可得:

{y2=uex;y2=uex+uex;y2=uex+2uex+uex.

将上式代入到 (2x1) y (2x+1)y+ 2y=0 中可得:

(2x1)y(2x+1)y+2y=0

{(2x1)(uex+2uex+uex)(2x+1)(uex+uex)+2uex=0

{ex(2x1)(u+2u+u)ex(2x+1)(u+u)+2u=0

ex

{(2x1)(u+2u+u)(2x+1)(u+u)+2u=0

{2xu+4xu+2xuu2uu2xu2xuuu+2u=0

(2x1)u+(2x3)u=0.

接着,令 A=u, A=u则:

(2x1)u+(2x3)u=0

(2x1)A+(2x3)A=0

A+(2x32x1)A=0

A+(2x122x1)A=0

A+(122x1)A=0

线

A=C1e(122x1)dx

A=C1e[1dx22x1dx]

A=C1e[xln(2x1)]

A=C1eln(2x1)+(x)

A=C1[eln(2x1)ex]

A=C1(2x1)ex.

即:

u=C1(2x1)ex.

于是:

u=udx

u=C1(2x1)exdx

u=C1(2x1)exdx

u=C1(2xexex)dx

u=C1[2xexdxexdx]

注:

[1]. (ex)=ex;

[2]. (ex+xex)=xex.

u=C1[2(ex+xex)+ex]+C2

u=C1(2x+1)ex+C2.

又:

{u(1)=e;u(0)=1.

于是:

{C1e+C2=e;C1+C2=1.

{C1=1;C2=0.

综上可知:

u(x)=(2x+1)ex.


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