2016年考研数二第19题解析:微分方程的降阶、一阶线性微分方程求解 题目 编号:A2016219 已知 y1(x)=ex, y2(x)=u(x)ex 是二阶微分方程: (2x–1)y”–(2x+1)y‘+2y=0 的两个解. 若 u(−1)=e, u(0)=−1, 求 u(x), 并写出该微分方程的通解. 解析 注: [1]. 为了书写方便以及演算步骤的直观清晰,我们约定: ① 用 y2 代指题目中的 y2(x); ② 用 u 代指题目中的 u(x). 由题可得: {y2=uex;y2‘=u‘ex+uex;y2”=u”ex+2u‘ex+uex. 将上式代入到 (2x–1) y”− (2x+1)y‘+ 2y=0 中可得: (2x–1)y”–(2x+1)y‘+2y=0⇒ {(2x–1)(u”ex+2u‘ex+uex)−(2x+1)(u‘ex+uex)+2uex=0⇒ {ex(2x–1)(u”+2u‘+u)−ex(2x+1)(u‘+u)+2u=0⇒ 等式两边同时除以等式两边同时除以ex⇒ {(2x–1)(u”+2u‘+u)−(2x+1)(u‘+u)+2u=0⇒ {2xu”+4xu‘+2xu−u”–2u‘–u2xu‘–2xu–u‘–u+2u=0⇒ (2x−1)u”+(2x−3)u‘=0. 接着,令 A=u‘, A‘=u”则: (2x−1)u”+(2x−3)u‘=0⇒ (2x−1)A‘+(2x−3)A=0⇒ A‘+(2x−32x−1)A=0⇒ A‘+(2x−1−22x−1)A=0⇒ A‘+(1−22x−1)A=0⇒ 一阶线性微分方程求解公式一阶线性微分方程求解公式⇒ A=C1e−∫(1−22x−1)dx⇒ A=C1e−[∫1dx–∫22x−1dx]⇒ A=C1e−[x–ln(2x−1)]⇒ A=C1eln(2x−1)+(−x)⇒ A=C1[eln(2x−1)⋅e−x]⇒ A=C1(2x−1)⋅e−x. 即: u‘=C1(2x−1)⋅e−x. 于是: u=∫u‘dx⇒ u=∫C1(2x−1)⋅e−xdx⇒ u=C1∫(2x−1)⋅e−xdx⇒ u=C1∫(2xe−x–e−x)dx⇒ u=C1[2∫xe−xdx–∫e−xdx]⇒ 注: [1]. (e−x)‘=–ex; [2]. −(e−x+xe−x)‘=xe−x. u=C1[−2(e−x+xe−x)+e−x]+C2⇒ u=−C1(2x+1)e−x+C2. 又: {u(−1)=e;u(0)=−1. 于是: {C1e+C2=e;−C1+C2=−1.⇒ {C1=1;C2=0. 综上可知: u(x)=−(2x+1)e−x. 相关文章: 用两种不同的思路解决一道隐函数变量替换的题目 2018年考研数二第19题解析:条件极值、拉格朗日乘数法 2018年考研数二第16题解析:变上限积分、一阶线性微分方程、积分中值定理 2017年考研数二第18题解析:导数、函数极值、单调性 2019年考研数二第15题解析:复合函数求导、分段函数、极值、极限 2017年考研数二第21题解析:不定积分、分离变量、直线方程 空间区域的质心公式(B007) 2012年考研数二第21题解析:数列、零点定理、极限 2016年考研数二第17题解析:利用偏导数求函数极值 空间区域的形心公式(B007) 2017年考研数二第20题解析:二重积分、二重积分的化简、直角坐标系转极坐标系 分母上的根号可以通过求导去除 遇高幂就降幂:∫ 2+x(1+x2)2 dx 2018年考研数二第17题解析:摆线、二重积分转二次积分、三角函数 2018年考研数二第22题解析:二次型、齐次线性方程组、二次型的规范型 2017年考研数二第16题解析:二阶偏导数、复合函数求导 2017年考研数二第15题解析:变限积分、洛必达法则、无穷小 2018年考研数二第23题解析:矩阵的秩、非齐次线性方程组、可逆矩阵 两种方法去根号:分子有理化或整体代换 2016年考研数二第20题解析:旋转体的体积和表面积、参数方程、一重定积分 2016年考研数二第23题解析:相似对角化、特征值、特征向量、线性表示 2018年考研数二第15题解析:分部积分法、求导 考研基本积分公式汇总 二阶欧拉方程的计算 巧用三角函数凑微分,化不同为相同:∫ cos2xcos2x(1+sin2x) dx