2015年考研数二第22题解析:矩阵、逆矩阵

题目

设矩阵 A=[a101a101a], 且 A3=O.

()a 的值;

() 若矩阵 X 满足 X XA2 AX+ AXA2= E, 其中 E3 阶单位矩阵,求 X.

解析

()

由题可知:

A3=O

AAA=O

|AAA|=0

|A||A||A|=0

|A|=0

a3a+a=0

a=0.

()

由第 () 问可知:

A=[010101010].

又:

XXA2AX+AXA2=E

X(EA2)AX(EA2)=E

(XAX)(EA2)=E

(EXAX)(EA2)=E

(EA)X(EA2)=E

X=(EA)1E(EA2)1

X=(EA)1(EA2)1.

接着:

EA

[100010001][010101010]

EA=[110111011].

A2

[010101010][010101010]

A2=[101000101].

EA2

[100010001][101000101]

EA2=[001010102].

((EA)|E)

[110100111010011001]

(E|(EA)1)=[100211010111001110]

(EA)1=[211111110].

((EA2)|E)

[001100010010102001]

(E|(EA2)1)=[100201010010001100]

(EA2)1=[201010100]

于是:

X=(EA)1(EA2)1

X=[211111110][201010100]

X=[312111211].


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