2014年考研数二第20题解析：极限、数列、数学归纳法

题目

设函数 $f(x)=$ $\frac{x}{1+x}$, $x\in [0,1]$, 定义数列：

$$f_1(x)=f(x),$$

$$f_2(x)=f[f_1(x)],$$

$$\cdot \cdot \cdot ,$$

$$f_n(x)=f[f_{n-1}(x)],$$

$$\cdot \cdot \cdot$$

记 $S_n$ 是曲线 $y=f_n(x)$, 直线 $x=1$ 及 $x$ 轴所围平面图形的面积，求极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{S}_n$.

解析

由题知：

$$f_1(x)=\frac{x}{1+x};$$

$$f_2(x)=\frac{\frac{x}{1+x}}{1+\frac{x}{1+x}}=\frac{x}{1+2x};$$

$$f_3(x)=\frac{\frac{x}{1+2x}}{1+\frac{x}{1+2x}}=\frac{x}{1+3x}.$$

于是，由数学归纳法可知：

$$f_n(x)=\frac{x}{1+nx}.$$

又：

$$f_n(0)=\frac{0}{1+0}=0.$$

于是：

$$S_n={\int }_0^1\frac{x}{1+nx}\Rightarrow$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{S}_n=$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{\int }_0^1\frac{x}{1+nx}.$$

又，当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时，$1+nx\to nx$, 于是：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{\int }_0^1\frac{x}{1+nx}=$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{\int }_0^1\frac{x}{nx}=$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^1\frac{nx}{nx}=1.$$