2013年考研数二第19题解析：拉格朗日乘数法求条件极值、求曲线上的最值

题目

求曲线 $x^3-xy+y^3=1$ $(x⩾0,y⩾0)$ 上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。

解析

设题中曲线上的点的坐标为 $(x,y)$, 则，该点到坐标原点 $(0,0)$ 的距离为：

$$d=\sqrt{(x-0{)}^2+(y-0{)}^2}\Rightarrow$$

$$d=\sqrt{x^2+y^2}.$$

于是，题意就是让我们求 $\sqrt{x^2+y^2}$ 在 $x^3-xy+y^3=1$ 这个条件下的最大值和最小值。

不过，为了后面的计算更加方便，我们可以将本题化简一下，即改为：求 $x^2+y^2$ 在 $x^3-xy+y^3=1$ 这个条件下的最大值和最小值，之后再将得到的结果代入 $\sqrt{x^2+y^2}$ 中计算即可。由于 $\sqrt{x^2+y^2}$ 与 $x^2+y^2$ 的增减性一致，因此可知，这种简化方法是可行的。

首先，利用拉格朗日乘数法求出条件极值（用该法求出的极值可能是极大值，也可能是极小值，后面还需要验证。）

令：

$$F(x,y,\lambda )=$$

$$x^2+y^2+\lambda (x^3–xy+y^3-1).$$

于是，有：

$$\{\begin{array}{c}{F}_x^{‘}=2x+\lambda (3x^2–y);\\ F_y^{‘}=2y+\lambda (3y^2–x);\\ F_{\lambda }^{‘}=x^3–xy+y^3–1.\end{array}\Rightarrow$$

令：

$$\{\begin{array}{c}{F}_x^{‘}=2x+\lambda (3x^2–y)=0;\\ F_y^{‘}=2y+\lambda (3y^2–x)=0;\\ F_{\lambda }^{‘}=x^3–xy+y^3–1=0.\end{array}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{c}2x+3\lambda x^2–\lambda y=0;\mathrm{①}\\ 2y+3\lambda y^2–\lambda x=0;\mathrm{②}\\ x^3–xy+y^3–1=0.\mathrm{③}\end{array}$$

观察可知，对于上面的方程组，当我们把 $x$ 换成 $y$, 再把 $y$ 换成 $x$, 即可将 $\mathrm{①}$ 式变成 $\mathrm{②}$ 式，同理也可以将 $\mathrm{②}$ 式变成 $\mathrm{①}$ 式，于是可知：

$$x=y;y=x.$$

接着，将 $y=x$ 代入 $\mathrm{③}$ 式可得：

$$x^3–x^2+x^3–1=0\Rightarrow$$

$$2x^3–x^2-1=0\Rightarrow$$

$$2x^3–x^2=1\Rightarrow$$

$$x^2(2x–1)=0\Rightarrow$$

$$x=1.$$

即，有：

$$x=y=1.$$

于是，有极值为：

$$d=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{2}.$$

又由题知，$x^3-xy+y^3=1$ 是一个“曲线”，曲线都是不闭合的，因此，该曲线必有两个端点，一个端点位于 $x$ 取最小值的位置（即 $x=0$），另一个端点位于 $y$ 取最小值的位置（即 $y=0$）。

将 $x=0$ 代入 $x^3-xy+y^3=1$, 得：

$$y=1.$$

将 $y=0$ 代入 $x^3-xy+y^3=1$, 得：

$$x=1.$$

于是，曲线上这两个端点的坐标分别为：

$$(0,1);(1,0).$$

将这两个端点坐标分别代入 $d=\sqrt{x^2+y^2}$ 可知，他们到原点的距离都是 $1$.

由于 $1<\sqrt{2}$, 于是可知：

曲线 $x^3-xy+y^3=1$ $(x⩾0,y⩾0)$ 上的点到坐标原点的最长距离为 $\sqrt{2}$, 最短距离为 $1$.