2013年考研数二第18题解析：拉格朗日中值定理、罗尔定理、中值定理

一、题目

设奇函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上具有二阶导数，且 $f(1)=1$. 证明：

$(\mathrm{Ⅰ})$ 存在 $\xi \in (0,1)$, 使得 $f^{‘}(\xi )=1$;

$(\mathrm{Ⅱ})$ 存在 $\eta \in (-1,1)$, 使得 $f^{”}(\eta )+f^{‘}(\eta )=1$.

二、解析

第 $(\mathrm{Ⅰ})$ 问

方法一

由题知，函数 $f(x)$ 为奇函数，因此：

$$f(0)=0.$$

于是，由拉格朗日中值定理知，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得下式成立：

$$f^{‘}(\xi )=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}\Rightarrow$$

$$f^{‘}(\xi )=\frac{1-0}{1-0}=1.$$

方法二

由题知，函数 $f(x)$ 为奇函数，因此：

$$f(0)=0.$$

若令：

$$\phi (x)=f(x)–x.$$

则：

$$\phi (0)=f(0)–0=0;$$

$$\phi (1)=f(1)–1=0.$$

即：

$$\phi (0)=\phi (1)=0.$$

根据罗尔定理可知，存在 $\xi \in (0,1)$, 使得 ${\phi }^{‘}(\xi )=0.$ 成立。

又：

$${\phi }^{‘}(\xi )=f^{‘}(\xi )–1=0.$$

于是：

$$f^{‘}(\xi )=1.$$

即，存在 $\xi \in (0,1)$, 使得 $f^{‘}(\xi )=1$ 成立。

第 $(\mathrm{Ⅱ})$ 问

首先，由题知，$f(x)$ 是奇函数，而且 $f(x)$ 存在二阶导数，于是，$f^{‘}(x)$ 为偶函数。

又由第 $(\mathrm{Ⅰ})$ 问知：

$$f^{‘}(\xi )=1.$$

于是：

$$f^{‘}(-\xi )=1.$$

又由 $f^{”}(\eta )+f^{‘}(\eta )=1$, 可得：

$$f^{”}(x)+f^{‘}(x)=1\Rightarrow$$

$$f^{”}(x)+f^{‘}(x)-1=0\Rightarrow$$

$$[f^{‘}(x)-1{]}^{‘}+[f^{‘}(x)–1]=0\Rightarrow$$

$$e^x\cdot [f^{‘}(x)-1{]}^{‘}+e^x\cdot [f^{‘}(x)–1]=0.\mathrm{①}$$

根据上面的 $\mathrm{①}$ 式，我们可以构造出辅助函数：

$$F(x)=e^x[f^{‘}(x)–1].$$

于是，有：

$$F(\xi )=e^{\xi }[f^{‘}(\xi )–1]\Rightarrow$$

$$F(\xi )=e^{\xi }[1-1]=0;$$

$$F(-\xi )=e^{-\xi }[f^{‘}(-\xi )–1]\Rightarrow$$

$$F^{‘}(-\xi )=e^{-\xi }[1-1]=0.$$

即：

$$F(\xi )=F(-\xi )=0.$$

于是，根据罗尔定理可知，存在 $\eta \in (-\xi ,\xi )$, 使得 $F^{‘}(\eta )$ 成立。

由于 $(-\xi ,\xi )\subset (-1,1)$, 于是，存在 $\eta \in (-1,1)$, 使得 $F^{‘}(\eta )$ 成立。

又：

$$F^{‘}(\eta )=e^{\eta }[f^{‘}(\eta )-1]+e^{\eta }{f}^{”}(\eta )\Rightarrow$$

$$F^{‘}(\eta )=e^{\eta }{f}^{‘}(\eta )–e^{\eta }+e^{\eta }{f}^{”}(\eta )\Rightarrow$$

$$F^{‘}(\eta )=e^{\eta }[f^{”}(\eta )+f^{‘}(\eta )-1]=0.$$

由于 $e^{\eta }>0$, 即 $e^{\eta }\ne 0$ 始终成立，因此，有：

$$f^{”}(\eta )+f^{‘}(\eta )-1=0\Rightarrow$$

$$f^{”}(\eta )+f^{‘}(\eta )=1.$$

即，存在 $\eta \in (-1,1)$, 使得 $f^{”}(\eta )+f^{‘}(\eta )=1$ 成立。