一、题目
设奇函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上具有二阶导数，且 $f(1)=1$. 证明：
$(Ⅰ)$ 存在 $\xi \in (0,1)$, 使得 $f^{‘}(\xi)=1$;
$(Ⅱ)$ 存在 $\eta \in (-1,1)$, 使得 $f^{”}(\eta) + f^{‘}(\eta)=1$.
二、解析 
第 $(Ⅰ)$ 问
方法一
由题知，函数 $f(x)$ 为奇函数，因此：
$$
f(0) = 0.
$$
于是，由拉格朗日中值定理知，存在 $\xi \in(0,1)$ 使得下式成立：
$$
f^{‘}(\xi) = \frac{f(1)-f(0)}{1-0} \Rightarrow
$$
$$
f^{‘}(\xi) = \frac{1-0}{1-0} = 1.
$$
方法二
由题知，函数 $f(x)$ 为奇函数，因此：
$$
f(0) = 0.
$$
若令：
$$
\varphi (x) = f(x) – x.
$$
则：
$$
\varphi(0) = f(0) – 0 =0;
$$
$$
\varphi(1) = f(1) – 1 = 0.
$$
即：
$$
\varphi(0) = \varphi(1) = 0.
$$
根据罗尔定理可知，存在 $\xi \in(0,1)$, 使得 $\varphi^{‘}(\xi) = 0.$ 成立。
又：
$$
\varphi^{‘}(\xi) = f^{‘}(\xi) – 1 = 0.
$$
于是：
$$
f^{‘}(\xi) = 1.
$$
即，存在 $\xi \in (0,1)$, 使得 $f^{‘}(\xi)=1$ 成立。
第 $(Ⅱ)$ 问
首先，由题知，$f(x)$ 是奇函数，而且 $f(x)$ 存在二阶导数，于是，$f^{‘}(x)$ 为偶函数。
又由第 $(Ⅰ)$ 问知：
$$
f^{‘}(\xi) = 1.
$$
于是：
$$
f^{‘}(-\xi) = 1.
$$
又由 $f^{”}(\eta) + f^{‘}(\eta)=1$, 可得：
$$
f^{”}(x) + f^{‘}(x)=1 \Rightarrow
$$
$$
f^{”}(x) + f^{‘}(x)-1 = 0 \Rightarrow
$$
$$
[f^{‘}(x)-1]^{‘} + [f^{‘}(x) – 1] = 0 \Rightarrow
$$
$$
e^{x} \cdot [f^{‘}(x)-1]^{‘} + e^{x} \cdot [f^{‘}(x) – 1] = 0. ①
$$
根据上面的 $①$ 式，我们可以构造出辅助函数：
$$
F(x) = e^{x}[f^{‘}(x) – 1].
$$
于是，有：
$$
F(\xi) = e^{\xi}[f^{‘}(\xi) – 1] \Rightarrow
$$
$$
F(\xi) = e^{\xi} [1-1]=0;
$$
$$
F(-\xi) = e^{- \xi}[f^{‘}(- \xi) – 1] \Rightarrow
$$
$$
F^{‘}(-\xi) = e^{- \xi}[1-1]=0.
$$
即：
$$
F(\xi) = F(- \xi) = 0.
$$
于是，根据罗尔定理可知，存在 $\eta \in(-\xi,\xi)$, 使得 $F^{‘}(\eta)$ 成立。
由于 $(-\xi,\xi) \subset (-1,1)$, 于是，存在 $\eta \in (-1,1)$, 使得 $F^{‘}(\eta)$ 成立。
又：
$$
F^{‘}(\eta) = e^{\eta}[f^{‘}(\eta)-1] + e^{\eta}f^{”}(\eta) \Rightarrow
$$
$$
F^{‘}(\eta) = e^{\eta} f^{‘}(\eta) – e^{\eta} + e^{\eta} f^{”}(\eta) \Rightarrow
$$
$$
F^{‘}(\eta) = e^{\eta}[f^{”}(\eta) + f^{‘}(\eta)-1] = 0.
$$
由于 $e^{\eta} > 0$, 即 $e^{\eta} \neq 0$ 始终成立，因此，有：
$$
f^{”}(\eta) + f^{‘}(\eta)-1 = 0 \Rightarrow
$$
$$
f^{”}(\eta) + f^{‘}(\eta)=1.
$$
即，存在 $\eta \in (-1,1)$, 使得 $f^{”}(\eta) + f^{‘}(\eta)=1$ 成立。