2012年考研数二第23题解析：二次型基础、二次型化为标准型、秩

题目

已知：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ -1& 0& a\\ 0& a& -1\end{array}\right],$$

二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=X^{\mathrm{\top }}(A^{\mathrm{\top }}A)X$ 的秩为 $2$.

$(\mathrm{Ⅰ})$ 求实数 $a$ 的值；

$(\mathrm{Ⅱ})$ 求正交变换 $x=Qy$, 将 $f$ 化为标准形。

解析

第 $(\mathrm{Ⅰ})$ 问

由题知，二次型 $f$ 的秩为 $2$, 即：

$$r(A^{\mathrm{\top }}A)=2.$$

又根据矩阵秩的性质可知，$r(A^{\mathrm{\top }}A)=r(A)$, 于是：

$$r(A)=2.$$

接着，对矩阵 $A$ 进行初等变换：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ -1& 0& a\\ 0& a& -1\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& a+1\\ 0& 0& 0\end{array}\right].$$

再结合 $r(A)=2$, 可知：

$$a+1=0\Rightarrow$$

$$a=-1.$$

第 $(\mathrm{Ⅱ})$ 问

由第 $(\mathrm{Ⅰ})$ 问知，$a=-1$, 于是：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ -1& 0& -1\\ 0& -1& -1\end{array}\right];$$

$$A^{\mathrm{\top }}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 0\\ 0& 1& 0& -1\\ 1& 1& -1& -1\end{array}\right];$$

$$A^{\mathrm{\top }}A=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 2\\ 0& 2& 2\\ 2& 2& 4\end{array}\right].\mathrm{①}$$

接着，开始求 $A^{\mathrm{\top }}A$ 得特征值：

$$|\lambda E–A^{\mathrm{\top }}A|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda -2& 0& -2\\ 0& \lambda -2& -2\\ -2& -2& \lambda -4\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$(\lambda –2{)}^2(\lambda -4)-4(\lambda –2)–4(\lambda -2)=0\Rightarrow$$

$$(\lambda -2)[(\lambda -2)(\lambda -4)-8]=0\Rightarrow$$

$$\lambda (\lambda -2)(\lambda -6)=0.$$

于是，可知，矩阵 $A^{\mathrm{\top }}A$ 的特征值依次为：

$${\lambda }_1=0;{\lambda }_2=2;{\lambda }_3=6.$$

这里需要注意的是，我们这里必须使用未经化简的“原版”矩阵 $A^{\mathrm{\top }}A$, 否则，使用 $(\lambda E-A^{\mathrm{\top }}A)X=0$ 计算出的解特征值 $\lambda$ 与对应的特征向量 $\xi$ 就不匹配了。因为在该公式中，$(\lambda E-A^{\mathrm{\top }}A)$ 是一个整体，要怎么化简都要怎么化简，我们只对 $A^{\mathrm{\top }}A$ 进行化简显然是不对的。不过，我们可以对由 $(\lambda E-A^{\mathrm{\top }}A)$ 这个整体得来的矩阵进行化简。

当 ${\lambda }_1=0$ 时：

$$({\lambda }_{1}E–A^{\mathrm{\top }}A)X=0\Rightarrow$$

$$(0E–A^{\mathrm{\top }}A)X=0\Rightarrow$$

$${\xi }_1=\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right].$$

当 ${\lambda }_2=2$ 时：

$$({\lambda }_{2}E–A^{\mathrm{\top }}A)X=0\Rightarrow$$

$$(2E–A^{\mathrm{\top }}A)X=0\Rightarrow$$

$${\xi }_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right].$$

当 ${\lambda }_3=6$ 时：

$$({\lambda }_{3}E–A^{\mathrm{\top }}A)X=0\Rightarrow$$

$$(6E–A^{\mathrm{\top }}A)X=0\Rightarrow$$

$${\xi }_3=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right].$$

观察可知，矩阵 $A^{\mathrm{\top }}A$ 是一个实对称矩阵，且 ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2\ne {\lambda }_3$, 由“实对称矩阵不同特征值对应的特征向量必正交”的性质可知，${\xi }_1$, ${\xi }_2$ 和 ${\xi }_3$ 这三个特征向量一定正交，无需再做正交化运算。

接着，将 ${\xi }_1$, ${\xi }_2$ 和 ${\xi }_3$ 这三个特征向量单位化，得：

$${\gamma }_1=\frac{1}{\sqrt{(-1{)}^2+(-1{)}^2+(1{)}^2}}\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right];$$

$${\gamma }_2=\frac{1}{\sqrt{(-1{)}^2+(1{)}^2+(0{)}^2}}{\xi }_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right];$$

$${\gamma }_3=\frac{1}{\sqrt{(1{)}^2+(1{)}^2+(2{)}^2}}\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right].$$

于是，有：

$${\gamma }_1=\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right];$$

$${\gamma }_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right];$$

$${\gamma }_3=\frac{1}{\sqrt{6}}\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right].$$

于是可知，正交变换 $x=Qy$ 中的矩阵 $Q$ 为：

$$Q=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{\sqrt{3}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{6}}\\ -\frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}& 0& \frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right].$$

于是，在正交变换 $x=Qy$ 下，二次型 $f$ 的标准型为：

$$f=2y_2^2+6y_3^2.$$