2012年考研数二第17题解析：一重定积分、分部积分法、旋转体的体积、圆锥的体积

题目

过点 $(0, 1)$ 作曲线 $L :$ $y = \ln x$ 的切线，切点为 $A$ , 又 $L$ 与 $x$ 轴交于 $B$ 点，区域 $D$ 由 $L$ 与直线 $A B$ 围成，求区域 $D$ 的面积及 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。

根据题目描述，我们可以画出如下示意图，其中，以绿色斜线表示的区域就是区域 $D$ :

首先，设切线的方程为：

$y = k x + b .$

将 $(0, 1)$ 代入上式，得：

$b = 1.$

于是：

${\begin{matrix} y = k x + 1; \\ y = \ln x . \end{matrix} \Rightarrow$

$k x + 1 = \ln x \Rightarrow$

$e^{k x + 1} = e^{\ln x} \Rightarrow$

$e^{k x + 1} = x .$

又：

$(\ln x)^{‘} = \frac{1}{x} \Rightarrow$

$k = \frac{1}{x} .$

即：

$e^{k x + 1} = x \Rightarrow$

$x = e^{2} .$

把 $x = e^{2}$ 代入到 $y = \ln x$ , 得：

$y = 2.$

即，切线与曲线 $y = \ln x$ 的切点 $A$ 的坐标为：

$(e^{2}, 2) .$

又由题可知，点 $B$ 的坐标为：

$(1, 0) .$

于是，区域 $D$ 的面积 $S$ 为：

$S = \int_{1}^{e^{2}} \ln x d x - [\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (e^{2} - 1)] \Rightarrow$

$S = x \cdot \ln x |_{1}^{e^{2}} - \int_{1}^{e^{2}} x d (\ln x) - (e^{2} - 1) \Rightarrow$

$S = 2 e^{2} - \int_{1}^{e^{2}} x \cdot \frac{1}{x} d x - (e^{2} - 1) \Rightarrow$

$S = 2 e^{2} - (e^{2} - 1) - (e^{2} - 1) \Rightarrow$

$S = e^{2} + 1 - e^{2} + 1 \Rightarrow$

$S = 2.$

区域 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体的体积 $V$ 为：

$V = π \int_{1}^{e^{2}} (\ln x)^{2} d x - \frac{1}{3} π \cdot 2^{2} \cdot (e^{2} - 1) \Rightarrow$

注：
圆锥体的体积计算公式为： $V_{圆锥} = \frac{1}{3} π R^{2} H$ , 其中， $R$ 为圆锥体的底部半径， $H$ 为圆锥体的高度。

$V = π [\int_{1}^{e^{2}} (\ln x)^{2} d x - \frac{4}{3} (e^{2} - 1)] \Rightarrow$

又：
$\int_{1}^{e^{2}} (\ln x)^{2} d x =$

$x (\ln x)^{2} |_{1}^{e^{2}} - \int_{1}^{e^{2}} x d [(\ln x)^{2}] =$

$4 e^{2} - \int_{1}^{e^{2}} x \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} d x =$

$4 e^{2} - 2 \int_{1}^{e^{2}} \ln x d x =$

$4 e^{2} - 2 (e^{2} + 1) = 2 e^{2} - 2.$

于是：

$V = π [2 e^{2} - 2 - \frac{4}{3} e^{2} + \frac{4}{3}] \Rightarrow$

$V = \frac{2}{3} (e^{2} - 1) π .$

综上可知，区域 $D$ 的面积 $S = 2$ , 区域 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体的体积 $V = \frac{2}{3} (e^{2} - 1) π$ .