2011年考研数二第22题解析：线性相关、线性表示、秩、可逆矩阵

题目

设向量组 $α_{1} = (1, 0, 1)^{⊤}$ , $α_{2} = (0, 1, 1)^{⊤}$ , $α_{3} = (1, 3, 5)^{⊤}$ 不能由向量组 $β_{1} = (1, 1, 1)^{⊤}$ , $β_{2} = (1, 2, 3)^{⊤}$ , $β_{3} = (3, 4, a)^{⊤}$ 线性表示。

$(Ⅰ)$ 求 $a$ 的值；

$(Ⅱ)$ 将 $β_{1}$ , $β_{2}$ , $β_{3}$ 用 $α_{1}$ , $α_{2}$ , $α_{3}$ 线性表示。

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解析

第 $(Ⅰ)$ 问

假设， $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 可由 $β_{1}, β_{2}, β_{3}$ 线性表示。

则，根据线性表示的性质可知，矩阵 $(β_{1}, β_{2}, β_{3})$ 的秩与矩阵 $(β_{1}, β_{2}, β_{3}, α_{1})$ 的秩相等，

即：

$r (β_{1}, β_{2}, β_{3}) = r (β_{1}, β_{2}, β_{3}, α_{1}) \Rightarrow$

$r (β_{1}, β_{2}, β_{3}) = r (β_{1}, β_{2}, α_{1}, β_{3})$

又：

$| β_{1}, β_{2}, α_{1} | =$

$| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{matrix} | = 2 \neq 0$

于是：

$r (β_{1}, β_{2}, β_{3}) = r (β_{1}, β_{2}, α_{1}, β_{3}) = 3.$

因此，若 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 【不】可由 $β_{1}, β_{2}, β_{3}$ 线性表示，则：

$r (β_{1}, β_{2}, β_{3}) \neq 3.$

又：

$r (β_{1}, β_{2}, β_{3}) ⩽ 3.$

于是：

$r (β_{1}, β_{2}, β_{3}) < 3.$

即：

$| β_{1}, β_{2}, β_{3} | = 0 \Rightarrow$

$| \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & a \end{matrix} | = 0 \Rightarrow$

$a = 5.$

第 $(Ⅱ)$ 问

根据定义可知，通过计算如下式子，求出 $a$ , $b$ , $c$ 的值，即可将 $β_{1}$ 用 $α_{1}$ , $α_{2}$ , $α_{3}$ 表示出来：

$(α_{1}, α_{2}, α_{3}) [\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}] = β_{1} \Rightarrow$

$[\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 5 \end{matrix}] [\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}] .$

即：

$β_{1} = a α_{1} + b α_{2} + c α_{3} . ①$

同理，我们可以有：

$β_{2} = d α_{1} + e α_{2} + f α_{3} . ②$

$β_{3} = g α_{1} + h α_{2} + i α_{3} . ③$

若将 $①$ , $②$ , $③$ 式合并在一起，就得到了：

$[\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 5 \end{matrix}] [\begin{matrix} a & d & h \\ b & e & i \\ c & f & j \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \end{matrix}] .$

若令：

$A = [\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 5 \end{matrix}];$

$X = [\begin{matrix} a & d & h \\ b & e & i \\ c & f & j \end{matrix}];$

$B = [\begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \end{matrix}] .$

则有：

$A X = B \Rightarrow$

$X = A^{- 1} B .$

接下来开始求 $A^{- 1}$ .

对下面的矩阵做初等行变换：

$[\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \Rightarrow 初等行变换 \Rightarrow$

$[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 2 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 4 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 & - 1 & 1 \end{matrix}]$

于是：

$A^{- 1} = [\begin{matrix} 2 & 1 & - 1 \\ 3 & 4 & - 3 \\ - 1 & - 1 & 1 \end{matrix}]$

近而：

$X = A^{- 1} B =$

$[\begin{matrix} 2 & 1 & - 1 \\ 3 & 4 & - 3 \\ - 1 & - 1 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 & 1 & 5 \\ 4 & 2 & 10 \\ - 1 & 0 & - 2 \end{matrix}]$

即：

$[\begin{matrix} a & d & h \\ b & e & i \\ c & f & j \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 & 1 & 5 \\ 4 & 2 & 10 \\ - 1 & 0 & - 2 \end{matrix}]$

综上可知：

$β_{1} = 2 α_{1} + 4 α_{2} - α_{3};$

$β_{2} = 1 α_{1} + 2 α_{2} + 0 α_{3};$

$β_{3} = 5 α_{1} + 10 α_{2} - 2 α_{3} .$

题目

解析

第 Ⅰ(Ⅰ) 问

第 Ⅱ(Ⅱ) 问

相关文章：

第 $(Ⅰ)$ 问

第 $(Ⅱ)$ 问