题目
设 $A$ 为三阶矩阵，将 $A$ 的第 $2$ 列加到第 $1$ 列得矩阵 $B$, 再交换 $B$ 的第 $2$ 行与第 $3$ 行得单位矩阵. 记 $P_{1} = \begin{bmatrix}
1& 0& 0\\
1& 1& 0\\
0& 0& 1
\end{bmatrix}$, $P_{2} = \begin{bmatrix}
1& 0& 0\\
0& 0& 1\\
0& 1& 0
\end{bmatrix}$, 则 $A=()$.
$$
(A) P_{1}P_{2}
$$
$$
(B)P_{1}^{-1}P_{2}
$$
$$
(C)P_{2}P_{1}
$$
$$
(D )P_{2}P_{1}^{-1}
$$
解析
根据“左行右列”原则，由题可知：
$$
E = P_{2} A P_{1} \Rightarrow
$$
$$
P_{2}^{-1} E = AP_{1} \Rightarrow
$$
$$
P_{2}^{-1} E p_{1}^{-1} = A
$$
由于题目中并没有出现 $P_{2}^{-1}$, 因此，我们对 $P_{2}$ 做一个求逆运算，看一看有什么规律可循：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\Rightarrow
$$
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
$$
由上可知：
$$
P_{2}^{-1} = P_{2}.
$$
于是：
$$
A = P_{2}^{-1} E p_{1}^{-1} = P_{2}EP_{1}^{-1} = P_{2}P_{1}^{-1}.
$$
综上可知，正确选项为：$D.$