2011年考研数二第05题解析

题目

设函数 $f(x)$, $g(x)$ 均有二阶连续导数，满足 $f(0)>0$, $g(0)<0$, 且 $f^{‘}(0)=g^{‘}(0)=0$, 则函数 $z=f(x)g(y)$ 在点 $(0,0)$ 处取得极小值的一个充分条件是（）.

$$A.f^{”}(0)<0,g^{”}(0)>0$$

$$B.f^{”}(0)<0,g^{”}(0)<0$$

$$C.f^{”}(0)>0,g^{”}(0)>0$$

$$D.f^{”}(0)>0,g^{”}(0)<0$$

解析

由题知：

$$z(x,y)=f(x)g(y).$$

则：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=f^{‘}(x)g(y);$$

$$\frac{\partial z}{\partial y}=f(x)g^{‘}(y).$$

又由于：

$$f^{‘}(0)=g^{‘}(0)=0.$$

故：

$$\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(0,0)}=f^{‘}(0)g(0)=0;$$

$$\frac{\partial z}{\partial y}{|}_{(0,0)}=f(0)g^{‘}(0)=0.$$

即 $z(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处的一阶偏导存在且点 $(0,0)$ 是 $z(x,y)$ 的一个极值点。

进而：

$$A=z_{xx}^{”}(0,0)=\frac{{\partial }^{2}z}{{\partial }^{2}x}{|}_{(0,0)}=f^{”}(0)g(0);$$
$$B=z_{xy}^{”}(0,0)=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}{|}_{(0,0)}=f^{‘}(0)g^{‘}(0);$$
$$C=z_{yy}^{”}(0,0)=\frac{{\partial }^{2}z}{{\partial }^{2}y}{|}_{(0,0)}=f(0)g^{”}(0).$$

由于，只有当 $AC-B^2>0$ 时，$z(x,y)$ 才有极值，同时，只有当 $A>0$ 时，$z(x,y)$ 有极小值，且已知：

$$f(0)>0,g(0)<0.$$

故：

$$A>0\Rightarrow f^{”}(0)g(0)>0\Rightarrow f^{”}(0)<0.$$

于是：

$$AC-B^2>0\Rightarrow f^{”}(0)g(0)\cdot f(0)g^{”}(0)>0\Rightarrow g^{”}(0)>0.$$

综上可知，正确选项为：$A$.