2014年考研数二第03题解析

题目

设函数 $f (x)$ 具有二阶导数， $g (x) = f (0) (1 - x) + f (1) x$ , 则在区间 $[0, 1]$ 上 $?$

$A . 当 f^{‘} (x) ⩾ 0 时， f (x) ⩾ g (x)$

$B . 当 f^{‘} (x) ⩾ 0 时， f (x) ⩽ g (x)$

$C . 当 f^{”} (x) ⩾ 0 时， f (x) ⩾ g (x)$

$D . 当 f^{”} (x) ⩾ 0 时， f (x) ⩽ g (x)$

当 $x = 0$ 时：

$g (0) = f (0) \cdot (1 - 0) + f (1) \cdot 0 = f (0) .$

当 $x = 1$ 时：

$g (1) = f (1) (1 - 1) + f (1) \cdot 1 = f (1) .$

于是可知，在区间 $[0, 1]$ 内， $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图像是首尾相接的。

若 $f^{‘} (x) ⩾ 0$ , 则 $f (x)$ 单调递增，此时，有：

$f (1) > f (0) .$

又：

$g^{‘} (x) = f (0) (- 1) + f (1) =$

$f (1) - f (0) .$

故：

$g^{‘} (x) > 0.$

因此，此时 $g (x)$ 也是一个增函数。

但是，由两个函数都是增函数并无法判断出谁大谁小，因此， $A$ , $B$ 两项错误。

若 $f^{”} (x) ⩾ 0$ , 则表明 $f (x)$ 是一个凹曲线。

又：

$g^{”} (x) = [f (1) - f (0)]^{‘} = 0.$

因此， $g (x)$ 是一条直线。

于是，可以判断出，此时，有：

$g (x) ⩾ f (x) .$

注意：考研真题中很少（几乎没有）在题目中给出多余的不需要的条件，基本上题目中给的每个条件在解题时都能用到。而在本题中，题目中明确提到“ $f (x)$ 具有二阶导数”，因此，想解出本题很可能要涉及二阶导，由此可以基本排除（做题时不优先判断）不涉及二阶导的 $A$ , $B$ 两项。

综上可知，正确选项为 $D$ .

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